Hipersuperficies totalmente umbilicales

Sea $N$ un normal unitario definido en un abierto conexo $\mathcal U\subset M$. Por el lema 11.9, $S=kI$ en $\mathcal U$ para cierta función $k\in{\mathcal F}(\mathcal U)$ ($k=\langle Z,N\rangle$ es diferenciable). Como $\bar M$ tiene curvatura constante, el corolario 14.8(2) y el ejemplo 14.9 dan \[V(k)\,W=W(k)\,V\qquad\text{para todos } V,W\in{\mathfrak X}(\mathcal U).\] Dado $p\in\mathcal U$ y $v\in T_pM$, como $\dim M\geq2$ existe $w\in T_pM$ linealmente independiente de $v$; la igualdad $v(k)w=w(k)v$ obliga a $v(k)=0$. Así $dk=0$ y $k$ es constante en $\mathcal U$.

Si cambiamos $N$ por $-N$, $k$ cambia de signo; por tanto la función $k^2=\varepsilon\langle Z,Z\rangle$ está globalmente definida en $M$ (no depende de la elección local de $N$) y es localmente constante, luego constante por ser $M$ conexa. Esto es lo que significa «$k$ es constante módulo el signo». Finalmente, por el corolario 11.8, para todo plano no degenerado $\operatorname{span}\{v,w\}\subset T_pM$, \[K(v,w)=\bar C+\varepsilon\,\frac{k^2(\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle-\langle v,w\rangle^2)}{\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle-\langle v,w\rangle^2}=\bar C+\varepsilon k^2.\]

Como $\dim M=n-1\geq2$ y $\R^n_\nu$ es llano, por el lema 15.1 la función $k^2$ es una constante. No puede ser 0: si lo fuera, $S=0$ y $M$ sería totalmente geodésica. Así $k^2=1/r^2$ con $r>0$, y en cada abierto conexo donde haya un normal unitario $N$ se tiene $S=kI$ con $k=\pm1/r$ constante.

El centro. Definimos, localmente, la aplicación $\psi=P+\frac1kN:\mathcal U\rightarrow\R^n_\nu$. Si cambiamos $N$ por $-N$, también $k$ cambia a $-k$, luego $\frac1kN$ no cambia: $\psi$ está bien definida en todo $M$. Para todo $V$ tangente, por el lema 11.6, \[D_V\psi=D_VP+\frac1kD_VN=V-\frac1kS(V)=V-\frac1kkV=0.\] Así $d\psi=0$ y, como $M$ es conexa, $\psi\equiv c$ es constante.

Como $P-c=-\frac1kN$, \[q(P-c)=\frac{1}{k^2}\langle N,N\rangle=\varepsilon r^2.\] Es decir, $M\subset Q_c:=\{p\in\R^n_\nu:\ q(p-c)=\varepsilon r^2\}$, que es la trasladada por $c$ de la hipercuádrica $q^{-1}(\varepsilon r^2)$ (y las traslaciones son isometrías de $\R^n_\nu$). Como $M$ y $Q_c$ son subvariedades de la misma dimensión $n-1$ y $M\subset Q_c$, la inclusión $M\hookrightarrow Q_c$ es diferenciable (proposición 0.7) con diferencial inyectiva entre espacios de igual dimensión; por el teorema de la función inversa es un difeomorfismo local y su imagen $M$ es abierta en $Q_c$.

Sea $Q_0$ la componente conexa de $Q_c$ que contiene a $M$ ($M$ es conexa). $M$ es abierto en $Q_0$ con la métrica inducida (que coincide con la de $Q_0$). Veamos que $M$ es cerrado en $Q_0$. Sea $x\in Q_0$ adherente a $M$ y sea $\mathcal V$ un entorno convexo (normal) de $x$ en $Q_0$ (apéndice A). Existe $p\in M\cap\mathcal V$ y una geodésica $\gamma$ de $Q_0$ contenida en $\mathcal V$ con $\gamma(0)=p$ y $\gamma(1)=x$. Sea $v=\gamma'(0)\in T_pM=T_pQ_0$. Como $M$ es completa, la geodésica $\beta$ de $M$ con $\beta'(0)=v$ está definida en $[0,1]$; al ser $M$ un abierto de $Q_0$, $\beta$ es también geodésica de $Q_0$, y por unicidad $\beta=\gamma$ en $[0,1]$. Así $x=\gamma(1)=\beta(1)\in M$. Por conexión de $Q_0$, $M=Q_0$.

Los hiperplanos afines no degenerados son totalmente geodésicos (ejemplo 9.3) y completos, y las componentes de hipercuádricas son totalmente umbilicales (lema 12.9) y completas (proposiciones 13.1 y 13.3). Recíprocamente, sea $M$ completa, conexa y totalmente umbilical. Si no es totalmente geodésica, la proposición 15.3 concluye. Si es totalmente geodésica, $S=0$, luego $D_VN=0$: cada normal unitario local es constante, y $N$ es constante salvo el signo en toda $M$ (por conexión). Entonces $V\langle P,N\rangle=\langle V,N\rangle=0$, así que $\langle P,N\rangle=a$ es constante y $M$ está contenida en el hiperplano $\Pi=\{p:\langle p,N\rangle=a\}$, que es no degenerado porque su ortogonal $\operatorname{span}\{N\}$ lo es. Como antes, $M$ es abierto en $\Pi$; por ser completa y $\Pi$ conexo, el argumento del caso completo de la proposición 15.3 da $M=\Pi$.

Sea $p\in M$ y $S=S_p$ (respecto de un normal unitario local). Por la ecuación de Gauss (teorema 5.1) con $\sigma(x,y)=\varepsilon\langle Sx,y\rangle N$, y usando la proposición 6.2 para $R$ y $\bar R$, para todos $v,w,x,y\in T_pM$: \[\begin{aligned}(C-\bar C)\big(\langle x,v\rangle\langle w,y\rangle&-\langle x,w\rangle\langle v,y\rangle\big)\\&=\varepsilon\big(\langle Sv,x\rangle\langle Sw,y\rangle-\langle Sv,y\rangle\langle Sw,x\rangle\big).\end{aligned}\] Pongamos $c=\varepsilon(C-\bar C)\neq0$. Como $S$ es autoadjunto, el segundo miembro es $\varepsilon\langle\langle Sw,y\rangle Sv-\langle Sv,y\rangle Sw,x\rangle$, y por la no degeneración (la igualdad vale para todo $x$): \[\langle Sw,y\rangle\,Sv-\langle Sv,y\rangle\,Sw=c\big(\langle w,y\rangle\,v-\langle v,y\rangle\,w\big)\quad\forall\, v,w,y\in T_pM.\qquad(15.1)\]

Veamos que todo $v\neq0$ es un vector propio de $S$. Supongamos que $v$ y $Sv$ son linealmente independientes. El subespacio $\{v,Sv\}^\perp$ tiene dimensión $\dim M-2\geq1$ (lema 1.7), así que existe $y\neq0$ con $\langle v,y\rangle=\langle Sv,y\rangle=0$. Con este $y$, (15.1) se reduce a \[\langle Sw,y\rangle\,Sv=c\,\langle w,y\rangle\,v\qquad\text{para todo } w.\] Como $v,Sv$ son independientes, ambos coeficientes son nulos: $c\langle w,y\rangle=0$ para todo $w$, y al ser $c\neq0$, $y\perp T_pM$, es decir, $y=0$ por la no degeneración. Contradicción. Por tanto, para cada $v\neq0$, $Sv=\lambda(v)v$.

Un operador lineal para el que todo vector no nulo es propio es un múltiplo de la identidad: si $v,w$ son independientes, $\lambda(v+w)(v+w)=S(v+w)=\lambda(v)v+\lambda(w)w$ obliga a $\lambda(v)=\lambda(v+w)=\lambda(w)$. Así $S_p=\lambda I$ en cada punto y, por el lema 11.9, $M$ es totalmente umbilical.

Como $\dim M=n-1\geq3$ y $C\neq0=\bar C$, por el lema 15.6, $M$ es totalmente umbilical. No es totalmente geodésica, pues en ese caso, por la ecuación de Gauss, sería $C=\bar C=0$. Por la proposición 15.3, $M$ es un abierto de una hipercuádrica (y una componente de ella si es completa).