Máster en Matemática Avanzada
Geometría de subvariedades
Cómo vive una variedad dentro de otra: subvariedades semi-riemannianas, segunda forma fundamental, ecuaciones de Gauss y Codazzi, geodésicas e hipercuádricas.
Presentaciones de clase · 16 temas
Cada tema, en diapositivas.
Las mismas diapositivas que se proyectan en clase, con toda la notación matemática renderizada en el navegador: definiciones, resultados con su demostración, ejemplos, figuras interactivas y ejercicios. Se navegan con las flechas del teclado y se pueden proyectar a pantalla completa. Antes del Tema 0 hay un repaso de geometría riemanniana: no forma parte de la asignatura, pero se supone conocido.
Repaso previoAntes de empezar · no forma parte del programa
Bloque IFundamentos
00
Subvariedades
Subvariedades e inmersiones, coordenadas adaptadas, rango de la jacobiana y valores regulares: esferas, hiperboloides, grafos y el grupo ortogonal.
Ver presentación → 01Subespacio ortogonal
Productos escalares y carácter causal, subespacios degenerados, bases ortonormales, índice y ley de inercia de Sylvester.
Ver presentación → 02Subvariedades semi-riemannianas. Métrica inducida
Métrica inducida, ejemplos en Minkowski (la esfera cambia de tipo), codimensión, coíndice y proyecciones tan y nor.
Ver presentación → 03Campos a lo largo de la subvariedad
Campos tangentes y normales, proyecciones globales, expresión local y referencias ortonormales adaptadas.
Ver presentación →Bloque IILa segunda forma fundamental
04
Conexión inducida
La conexión inducida, la conexión de Levi-Civita como parte tangente, la segunda forma fundamental y la fórmula de Gauss.
Ver presentación → 05Ecuación de Gauss
La ecuación de Gauss, curvaturas seccionales y el Theorema Egregium: cilindro, esfera, toro, helicoide y toro de Clifford.
Ver presentación → 06Espacios de curvatura constante
Curvatura constante; la esfera y el espacio hiperbólico: la misma cuenta con el signo del normal.
Ver presentación → 07Curvatura media
El campo curvatura media, subvariedades minimales y de curvatura media constante, catenoide, helicoide y toro de Clifford.
Ver presentación →Bloque IIIGeodésicas y umbilicidad
08
Geodésicas en subvariedades
Derivación a lo largo de curvas, aceleración normal, círculos máximos, hélices del cilindro e hipérbolas.
Ver presentación → 09Subvariedades totalmente geodésicas
σ = 0 y sus caracterizaciones por geodésicas y transporte paralelo; subespacios, esferas máximas y rigidez.
Ver presentación → 10Puntos umbilicales
Vector curvatura normal igual a H, subvariedades totalmente umbilicales, esferas menores y el elipsoide.
Ver presentación → 11Hipersuperficies semi-riemannianas
Signo, normal unitario, conjuntos de nivel, la banda de Möbius, el operador forma y curvaturas principales.
Ver presentación →Bloque IVHipercuádricas y clasificación
12
Hipercuádricas
Pseudo-esferas y espacios pseudo-hiperbólicos, anti-isometrías, topología y umbilicidad con S = −I/r.
Ver presentación → 13Hipercuádricas. Geodésicas
Geodésicas como cónicas centrales, completitud y curvatura constante ±1/r².
Ver presentación → 14La ecuación de Codazzi
Conexión normal, fórmula de Weingarten, derivada covariante de σ y la ecuación de Codazzi.
Ver presentación → 15Hipersuperficies totalmente umbilicales
Curvatura normal constante, clasificación en ℝnν e hipersuperficies de curvatura constante.
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