Máster en Matemática Avanzada · Universidad de Murcia
Cómo vive una variedad dentro de otra: la geometría de las subvariedades semi-riemannianas, de la segunda forma fundamental a la clasificación de las hipersuperficies totalmente umbilicales.
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Ficha rápida
Los resultados se citan con la numeración del libro de O'Neill, por ejemplo (O'Neill 4.5).
Qué estudia la asignatura
Una subvariedad $M^n\subset\bar M^m$ hereda una métrica $g=\iota^*\bar g$ y, con ella, su propia geometría: conexión, geodésicas, curvatura. Pero también está situada dentro de $\bar M$, y esa posición se mide.
Lo que depende solo de la métrica inducida: $\nabla$, geodésicas de $M$, tensor $R$ y curvatura seccional $K$.
Cómo se curva $M$ en $\bar M$: la segunda forma fundamental $\sigma$, la curvatura media $H$, el operador forma $S$.
Toda la teoría consiste en comparar la geometría de $\bar M$ con la de $M$ a través de las componentes tangente y normal de los objetos de $\bar M$: $T_p\bar M=T_pM\oplus T_pM^\perp$.
Qué estudia la asignatura
En cada punto: el plano tangente (amarillo), el normal $N$ (negro) y las dos direcciones principales, con curvaturas $k_1$, $k_2$.
El marco semi-riemanniano
El curso trabaja en geometría semi-riemanniana: la métrica es un producto escalar en cada punto, no necesariamente definido positivo. El modelo es $\R^n_\nu$, \[\langle v,w\rangle_\nu=-\sum_{i=1}^{\nu}v^iw^i+\sum_{j=\nu+1}^{n}v^jw^j,\] que para $\nu=1$ es el espacio de Minkowski de la relatividad.
Un vector no nulo puede tener norma cero, un subespacio puede cortar a su ortogonal, y no toda subvariedad es semi-riemanniana: la métrica inducida puede degenerar (el cono de luz) o cambiar de tipo (la esfera vista en $\R^3_1$).
El marco semi-riemanniano
$\langle v,w\rangle=-v^1w^1+v^2w^2$, con el eje $x^1$ («tiempo») vertical.
Tema 1: subespacios no degenerados, bases ortonormales e índice.
El marco semi-riemanniano
Las hipercuádricas $q^{-1}(\pm r^2)\subset\R^{n+1}_\nu$: la esfera, el espacio hiperbólico, de Sitter, anti-de Sitter…
Temas 6, 12 y 13.
Las ideas centrales
\[\bar\nabla_VW=\nabla_VW+\sigma(V,W),\qquad\bar\nabla_VZ=-A_ZV+\nabla^\perp_VZ.\]
\[\langle R(V,W)X,Y\rangle=\langle\bar R(V,W)X,Y\rangle+\langle\sigma(V,X),\sigma(W,Y)\rangle-\langle\sigma(V,Y),\sigma(W,X)\rangle.\]
\[\nor\big(\bar R(V,W)X\big)=-(\nabla_V\sigma)(W,X)+(\nabla_W\sigma)(V,X).\]
Las ideas centrales
A lo largo de una curva de $M$, \[\ddot\alpha=\alpha''+\sigma(\alpha',\alpha').\]
Tema 8.
Programa · 16 temas
IFundamentos
Programa · 16 temas
IIIGeodésicas y umbilicidad
Hacia dónde vamos
En de Sitter $\S^2_1(1)$, según el carácter causal de la velocidad inicial:
Completas, pero dos puntos no siempre se unen por una geodésica (Tema 13).
Hacia dónde vamos
Las hipersuperficies completas, conexas y totalmente umbilicales de $\R^n_\nu$, $n\geq3$, son exactamente los hiperplanos no degenerados de $\R^n_\nu$ y las componentes conexas de las hipercuádricas.
El último tema reúne todas las herramientas del curso: fórmulas de Gauss y Weingarten, ecuaciones de Gauss y Codazzi, hipercuádricas y geodésicas.
Convenios
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $M^n\subset\bar M^m$, $\iota$ | subvariedad de dimensión $n$ e inclusión |
| ${\mathfrak X}(M)$, $\bar{\mathfrak X}(M)$, ${\mathfrak X}(M)^\perp$ | campos tangentes, a lo largo de $M$ y normales |
| $\tan$, $\nor$ | proyecciones ortogonales tangente y normal |
| $\bar\nabla$, $\nabla$, $\nabla^\perp$ | conexiones de $\bar M$ (e inducida), de $M$ y normal |
| $\sigma$, $H$, $S$ | segunda forma fundamental (O'Neill: $\II$), curvatura media, operador forma |
| $\S^n_\nu(r)$, $\H^n_\nu(r)$ | pseudo-esfera y espacio pseudo-hiperbólico |
$R(X,Y)Z=\nabla_{[X,Y]}Z-[\nabla_X,\nabla_Y]Z$ y $K(v,w)=\langle R(v,w)v,w\rangle/Q(v,w)$: la esfera unidad tiene $K=1$. Otros textos (do Carmo, Lee, Chen) usan el tensor opuesto.
Máster en Matemática Avanzada · Universidad de Murcia
Una subvariedad tiene una geometría propia y una forma de estar en el espacio.
La segunda forma fundamental $\sigma$ mide la diferencia entre ambas.
Del subespacio ortogonal a la clasificación de las hipersuperficies totalmente umbilicales.
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