Curso 2026/27 · Universidad de Murcia
Aprende a reconocer la forma de los datos. De la homología persistente a Machine Learning: matemáticas rigurosas, código y problemas reales.
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Ficha rápida
Una nueva mirada a los datos
La asignatura convierte ideas clásicas de Topología Algebraica y Geometría en herramientas computacionales para ciencia de datos. Preserva el rigor matemático, pero lo lleva al terreno operativo: reconocimiento de patrones, imágenes, biomedicina, series temporales, grafos y conjuntos de datos de alta dimensión.
Casos documentados · 1 de 2
Las dos nubes tienen el mismo centro, los mismos puntos y la misma dispersión: ninguna media ni desviación típica las distingue. Pero una tiene un agujero en medio y la otra no, y eso es exactamente lo que cuenta β1.
Carlsson, «Topology and data», Bull. Amer. Math. Soc. 46 (2009)Sensores repartidos por un terreno que solo saben con quién se solapan, sin conocer su posición. Si queda una zona sin vigilar aparece un ciclo, y la topología lo detecta sin usar coordenadas.
de Silva y Ghrist, Algebr. Geom. Topol. 7 (2007)Esquemas dibujados en la propia página para ilustrar la idea; no reproducen los datos de los trabajos citados.
Casos documentados · 2 de 2
Si una señal se repite, al dibujar cada valor frente al que llega un poco después el rastro se cierra en un bucle. Cuanto más limpio es el bucle, más periódica es la señal. Así se buscan ritmos diarios en datos biológicos.
Perea y Harer, Found. Comput. Math. 15 (2015)Mapper comprime muchos casos en un grafo: cada bola es un grupo de muestras parecidas y las líneas unen las que comparten casos. En 262 tumores de mama apareció una rama aparte, con supervivencia excelente, que los métodos habituales no separaban.
Nicolau, Levine y Carlsson, PNAS 108 (2011)Esquemas dibujados en la propia página para ilustrar la idea; no reproducen los datos de los trabajos citados.
Nubes de puntos en tres dimensiones
Arrastra con el ratón para girar y usa la rueda para acercar. Cada superficie está muestreada como una nube de puntos con ruido, que es como llega un conjunto de datos real.
Arrastra para girar · rueda para acercar
Laboratorio interactivo
Construye un complejo de Vietoris–Rips sobre una nube de puntos. Haz crecer ε y observa cómo, al tocarse las bolas, nacen aristas, caras y ciclos.
Laboratorio interactivo · R³
La misma construcción sobre nubes en el espacio. Al crecer ε nacen caras y celdas —los 3-símplices—, y con ellas β₂: los huecos que ninguna proyección plana deja ver.
Lo que vas a entrenar
Separar estructura de ruido y observar qué rasgos permanecen cuando cambia la resolución.
Calcular homología, números de Betti y diagramas de persistencia que los algoritmos puedan usar.
Integrar TDA con Python y Machine Learning para clasificar, comparar y explicar datos complejos.
Programa oficial · 7 temas (1 / 2)
Complejos simpliciales y construcción de los más utilizados en TDA. El lenguaje algebraico que convierte una nube de puntos en información sobre componentes, ciclos y cavidades.
Seguimiento del nacimiento y desaparición de rasgos topológicos al variar la escala; números de Betti persistentes y representaciones visuales.
Fundamentos que explican por qué las signaturas topológicas son robustas ante pequeñas perturbaciones y ruido en los datos.
Transformación de diagramas de persistencia en vectores y funciones adecuados para modelos estadísticos y de aprendizaje automático.
Programa oficial · 7 temas (2 / 2)
Construcción de mapas visuales de datos de alta dimensión mediante cubrimientos, clustering local y grafos que resumen su organización global.
Simplificación de complejos preservando su información topológica esencial y estudio de los teoremas fundamentales de la teoría.
Complejos cúbicos, filtraciones sobre imágenes, embebimientos de Takens, detección de periodicidades y comparación de grafos ponderados.
Aprender haciendo · 6 prácticas
Introducción rápida a Python y a las librerías estándar para el manejo de datos.
Construcción de complejos y filtraciones; diagramas y códigos de barras sobre nubes de puntos.
Curvas de Betti, paisajes, imágenes de persistencia y kernels listos para algoritmos.
Clasificación y regresión con TDA, validación y métricas básicas en pipelines completos.
Visualización y clustering topológico de conjuntos de datos de alta dimensionalidad.
Un pipeline TDA + Machine Learning sobre un dataset elegido o propuesto.
Plan docente · 150 horas
Resultados de aprendizaje
Analizar complejos simpliciales y cúbicos, calcular grupos de homología y números de Betti.
Crear diagramas e imágenes de persistencia, comprender su estabilidad y extraer signaturas.
Comprender y aplicar teoría de Morse discreta preservando información topológica esencial.
Usar herramientas computacionales de TDA con Python en prácticas reproducibles.
Aplicar TDA a ciencia de datos, imágenes, series temporales, grafos y Machine Learning.
Argumentar con rigor, comprender demostraciones y comunicar ideas matemáticas con claridad.
Resultados generales vinculados: RA01, RA02, RA03, RA04, RA05, RA06, RA14, RA15 y RA31.
Bibliografía
Computational Topology for Data Analysis
Tamal Krishna Dey y Yusu Wang · Cambridge University Press, 2022 · ISBN 978-1-009-09816-8.
Computational Topology: An Introduction
Herbert Edelsbrunner y John L. Harer · American Mathematical Society, 2022 · ISBN 978-0-8218-4925-5.
Topological Data Analysis with Applications
Gunnar Carlsson y Mikael Vejdemo-Johansson · Cambridge University Press, 2022.
Topological Data Analysis for Genomics and Evolution
Raúl Rabadán y Andrew J. Blumberg · Cambridge University Press, 2020.
Hands-On Machine Learning with Scikit-Learn and PyTorch
Aurélien Géron · O’Reilly, 2025.
Topología aplicada · 2026/27
Topología Aplicada conecta matemáticas profundas, computación y preguntas que importan. Datos académicos procedentes de la guía docente oficial de la Universidad de Murcia.
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