Curso 2026/27
Topología aplicada
Aprende a reconocer la forma de los datos. De la homología persistente a Machine Learning: matemáticas rigurosas, código y problemas reales.
Una nueva mirada a los datos
Donde otros ven puntos, tú aprenderás a ver estructura.
La asignatura convierte ideas clásicas de Topología Algebraica y Geometría en herramientas computacionales para ciencia de datos. Preserva el rigor matemático, pero lo lleva al terreno operativo: reconocimiento de patrones, imágenes, biomedicina, series temporales, grafos y conjuntos de datos de alta dimensión.
Pensar a varias escalas
Separar estructura de ruido y observar qué rasgos permanecen cuando cambia la resolución.
Traducir forma en números
Calcular homología, números de Betti y diagramas de persistencia que los algoritmos puedan usar.
Construir pipelines reales
Integrar TDA con Python y Machine Learning para clasificar, comparar y explicar datos complejos.
Programa oficial · 7 temas
Del símplex al problema real.
Un recorrido progresivo: construir, medir, comparar, vectorizar, simplificar y aplicar.
01HomologíaComplejos simpliciales, cadenas, ciclos, fronteras, Betti y Euler.
Complejos simpliciales y construcción de los más utilizados en TDA. El lenguaje
algebraico que convierte una nube de puntos en información sobre componentes, ciclos y cavidades.
02PersistenciaFiltraciones, módulos, diagramas y códigos de barras.
Seguimiento del nacimiento y desaparición de rasgos topológicos al variar la
escala; números de Betti persistentes y representaciones visuales.
03EstabilidadDistancias bottleneck y Wasserstein. Teoremas de estabilidad.
Fundamentos que explican por qué las signaturas topológicas son robustas ante
pequeñas perturbaciones y ruido en los datos.
04VectorizaciónCurvas de Betti, paisajes, imágenes, núcleos y entropía persistente.
Transformación de diagramas de persistencia en vectores y funciones adecuados para
modelos estadísticos y de aprendizaje automático.
05MapperGrafos de Reeb, función lente, clustering e interpretación.
Construcción de mapas visuales de datos de alta dimensión mediante cubrimientos,
clustering local y grafos que resumen su organización global.
06Morse discretaCampos vectoriales, colapsos y equivalencias homotópicas.
Simplificación de complejos preservando su información topológica esencial y
estudio de los teoremas fundamentales de la teoría.
07Aplicaciones TDAImágenes, series temporales, grafos, segmentación y clasificación.
Complejos cúbicos, filtraciones sobre imágenes, embebimientos de Takens, detección
de periodicidades y comparación de grafos ponderados.
Presentaciones de clase
Cada tema, en diapositivas.
Las mismas diapositivas que se proyectan en clase, con toda la notación matemática renderizada en el navegador. Se navegan con las flechas del teclado y se pueden proyectar a pantalla completa.
01
05
06
Complejos simpliciales
Símplices y caras, complejos geométricos y abstractos, esqueletos, estrellas y enlaces, nervio, Čech, Vietoris–Rips, Delaunay, alpha, testigos y aplicaciones simpliciales.
Ver presentación → 02Homología
Cadenas, el operador frontera, ciclos, fronteras, Hp(K), números de Betti, invariancia topológica y un toro simplicial de nueve vértices.
Ver presentación → 03Persistencia
Filtraciones y funciones monótonas, módulos de persistencia, nacimiento y muerte de clases, diagramas y códigos de barras, y su cálculo reduciendo la matriz frontera.
Ver presentación → 04Estabilidad
Distancias bottleneck y de Wasserstein, estabilidad para funciones y nubes de puntos, intercalados y el teorema de isometría.
Ver presentación →Mapper
Grafos de Reeb, función lente, clustering e interpretación.
En preparaciónMorse discreta
Campos vectoriales discretos, colapsos y equivalencias homotópicas.
En preparaciónAprender haciendo · 6 prácticas
Topología, Python y Machine Learning en el mismo flujo.
Fundamentos computacionales
Introducción rápida a Python y a las librerías estándar para el manejo de datos.
Homología y persistencia
Construcción de complejos y filtraciones; diagramas y códigos de barras sobre nubes de puntos.
Vectorización para ML
Curvas de Betti, paisajes, imágenes de persistencia y kernels listos para algoritmos.
Modelos de Machine Learning
Clasificación y regresión con TDA, validación y métricas básicas en pipelines completos.
Exploración con Mapper
Visualización y clustering topológico de conjuntos de datos de alta dimensionalidad.
Proyecto aplicado
Un pipeline TDA + Machine Learning sobre un dataset elegido o propuesto.
PythonGUDHIRipserscikit-tdaPersimKeplerMapperNumPyMatplotlib
Cuadernos de prácticas
Abre el cuaderno y ejecuta.
Cada sesión de prácticas es un cuaderno de Jupyter que se abre directamente en Google Colab: no hay que instalar nada, basta con pulsar y empezar a ejecutar celdas. Para guardar tu trabajo, usa Archivo → Guardar una copia en Drive y trabaja sobre tu propia copia.
P01 · S1
P03 – P06
Python y la cara combinatoria de la topología
Estructuras de datos de Python, funciones y el módulo itertools; complejos simpliciales como familias de conjuntos: caras, clausura, esqueletos, estrellas, enlaces, vector de caras y característica de Euler.
Abrir en Colab → P01 · S2NumPy, Matplotlib y el puente geométrico
Arrays, vectorización y broadcasting; matriz de distancias y rango sobre ℤ2; nubes de puntos y dibujo de complejos; Pandas; el complejo de Vietoris–Rips a varias escalas y las curvas de β0 y χ.
Abrir en Colab → P02 · S1Homología simplicial con el ordenador
Complejos en gudhi con SimplexTree; matrices de frontera, ∂∘∂ = 0 y rango sobre ℤ2; números de Betti verificados con gudhi; complejos de Vietoris–Rips y alpha sobre una nube de puntos.
Abrir en Colab → P02 · S2Filtraciones, persistencia y estabilidad
Filtraciones con SimplexTree; diagramas de persistencia y códigos de barras de Vietoris–Rips; el algoritmo de reducción de la matriz frontera, implementado y contrastado con gudhi; distancias bottleneck y de Wasserstein, y comprobación experimental del teorema de estabilidad.
Abrir en Colab →Resto de prácticas
Vectorización para Machine Learning, modelos, Mapper y proyecto aplicado. Se publicarán a lo largo del curso.
En preparación¿Prefieres trabajar en local, con tu propio Jupyter? Descarga los cuadernos: Práctica 1 · Sesión 1 (.ipynb) ↓ · Práctica 1 · Sesión 2 (.ipynb) ↓ · Práctica 2 · Sesión 1 (.ipynb) ↓ · Práctica 2 · Sesión 2 (.ipynb) ↓
Laboratorios interactivos
Haz visible lo invisible.
Cinco paneles que calculan en vivo sobre nubes de puntos: el complejo de Vietoris–Rips en el plano y en el espacio, el complejo de Delaunay con sus complejos alpha, la persistencia con dos parámetros —radio y codensidad— y el algoritmo Mapper. Tienen página propia.
Plan docente · 150 horas
Teoría para comprender. Práctica para saber hacer.
La carga de trabajo combina resolución de problemas, programación, proyecto y estudio autónomo.
Exposición teórico-práctica20
h
Ejercicios y problemas10
h
Prácticas con ordenador24
h
Trabajo autónomo90 h
Pruebas de evaluación6
h
Resultados de aprendizaje
Al terminar, sabrás mirar un dataset de otra manera.
Describir y calcular
Analizar complejos simpliciales y cúbicos, calcular grupos de homología y números de Betti.
Construir e interpretar
Crear diagramas e imágenes de persistencia, comprender su estabilidad y extraer signaturas.
Simplificar
Comprender y aplicar teoría de Morse discreta preservando información topológica esencial.
Programar
Usar herramientas computacionales de TDA con Python en prácticas reproducibles.
Resolver problemas reales
Aplicar TDA a ciencia de datos, imágenes, series temporales, grafos y Machine Learning.
Razonar y comunicar
Argumentar con rigor, comprender demostraciones y comunicar ideas matemáticas con claridad.
Resultados generales vinculados: RA01, RA02, RA03, RA04, RA05, RA06, RA14, RA15 y RA31.
Guía docente oficial 2026/27
La ficha, sin letra pequeña.
Bibliografía
Para seguir explorando.
Computational Topology for Data Analysis
Tamal Krishna Dey y Yusu Wang · Cambridge
University Press, 2022 · ISBN 978-1-009-09816-8.
Computational Topology: An Introduction
Herbert Edelsbrunner y John L. Harer ·
American Mathematical Society, 2022 · ISBN 978-0-8218-4925-5.
Topological Data Analysis with Applications
Gunnar Carlsson y Mikael
Vejdemo-Johansson · Cambridge University Press, 2022.
Topological Data Analysis for Genomics and Evolution
Raúl Rabadán y Andrew J.
Blumberg · Cambridge University Press, 2020.
Hands-On Machine Learning with Scikit-Learn and PyTorch
Aurélien Géron · O’Reilly,
2025.
Observaciones de la guía
Información académica importante.
Evaluación continua
La máxima calificación en la convocatoria de impartición se obtiene mediante evaluación continua y prueba final. Todas las actividades son recuperables.
Integridad académica
Las conductas fraudulentas, incluida la atribución indebida de identidad o autoría, implican una calificación de cero en el procedimiento de evaluación y pueden dar lugar a expediente disciplinario.
Inclusión
El alumnado con discapacidad o necesidades educativas especiales puede acudir a ADYV para orientación y medidas de inclusión.
ODS
La asignatura está vinculada al ODS 9: Industria, Innovación e Infraestructura.