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Topología aplicada · Tema 01

Complejos simpliciales

Fundamentos y construcciones para el análisis topológico de datos: del símplice al andamiaje simplicial que se levanta sobre una nube de puntos.

  • Símplices y complejos
  • Esqueletos, estrellas y enlaces
  • Nervio, Čech, Rips, Delaunay, alpha
  • Aplicaciones simpliciales

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Hoja de ruta

De la nube de puntos a las aplicaciones simpliciales

símplices
ensamblar
complejo
simplicial
datos
construcciones
para TDA
estructura
aplicaciones
simpliciales
Objetivo del capítulo
Disponer de una representación combinatoria y computable de un espacio topológico, junto con las herramientas para construirla a partir de datos y para comparar dos de estas representaciones entre sí.

Resultados de aprendizaje

Al terminar, debemos poder responder cuatro preguntas

  1. ¿Qué es un símplice y qué condiciones definen un complejo simplicial?
  2. ¿Qué diferencia hay entre un complejo geométrico y uno abstracto?
  3. ¿Cómo se construye un complejo simplicial a partir de una nube de puntos?
  4. ¿Qué es una aplicación simplicial y cómo se relaciona con las aplicaciones continuas?

Hilo conductor: un complejo simplicial es la versión combinatoria de un espacio topológico, y basta con listas de vértices para almacenarlo y calcular sobre él.

01

Sección primera

Complejos simpliciales

Símplices, caras, la versión geométrica y la abstracta, realización geométrica, subcomplejos, esqueletos, estrellas y enlaces.

Complejos simpliciales

Un $k$-símplice tiene $k+1$ vértices afínmente independientes

Definición (símplice)
Dado $k\geq0$, un $k$-símplice $\sigma$ en $\R^n$ es la envoltura convexa de $k+1$ puntos afínmente independientes $v_0,\ldots,v_k$. Escribimos $\sigma=\{v_0,\ldots,v_k\}$ y $\dim\sigma=k$.
0-símplice 1-símplice 2-símplice 3-símplice
Punto, segmento, triángulo y tetraedro: los símplices de dimensión $0$, $1$, $2$ y $3$.

Complejos simpliciales

Toda cara de un símplice es también un símplice

Una cara de $\sigma$ es la envoltura convexa de un subconjunto no vacío de sus vértices.

Para $\sigma=\{a,b,c\}$:

dimensióncaras
$2$$abc$
$1$$ab,\ ac,\ bc$
$0$$a,\ b,\ c$
  • Las $(k-1)$-caras de un $k$-símplice se llaman facetas.
  • Si $\sigma$ es cara propia de $\tau$, escribimos $\sigma<\tau$; entonces $\tau$ es una cocara de $\sigma$.

Complejos simpliciales

Un complejo simplicial respeta dos condiciones

Definición (complejo simplicial geométrico)
Una familia $K$ de símplices es un complejo simplicial si:
  1. si $\tau\in K$ y $\sigma<\tau$, entonces $\sigma\in K$;
  2. para todos $\sigma,\tau\in K$, $\sigma\cap\tau$ es vacío o una cara de ambos.
Complejo simplicial
No es un complejo simplicial

A la derecha, los dos triángulos se cortan sin que la intersección sea una cara común.

Complejos simpliciales

Trabajaremos siempre con complejos finitos

  • Para TDA, asumimos que todo complejo simplicial $K$ es finito: consiste en un número finito de símplices.
  • La dimensión de $K$ es la dimensión máxima de sus símplices: \[ \dim K=\max_{\sigma\in K}\dim\sigma. \]
Observación
Un complejo simplicial es un objeto geométrico: sus vértices son puntos de $\R^n$. Gran parte de la información que nos interesa, sin embargo, depende solo de qué vértices forman cada símplice, no de sus coordenadas.

Complejos simpliciales

La versión abstracta conserva solo la combinatoria

Definición (complejo simplicial abstracto)
Un complejo simplicial abstracto $K$ es una familia de subconjuntos no vacíos de un conjunto de vértices $V$, que contiene todos los subconjuntos unipuntuales y tal que \[ \tau\in K,\quad \emptyset\neq\sigma\subset\tau \quad\Longrightarrow\quad \sigma\in K. \]
  • Un $k$-símplice es aquí un subconjunto de $k+1$ elementos.
  • Los complejos abstractos $1$-dimensionales son exactamente los grafos: vértices $V$ y aristas como subconjuntos de dos elementos.

Complejos simpliciales

De geométrico a abstracto solo nos quedamos con la incidencia

Si $K$ es un complejo geométrico con vértices $V(K)$, a cada $\sigma\in K$ le asociamos $V(\sigma)\subseteq V(K)$. Obtenemos el complejo abstracto

\[ K':=\{V(\sigma):\sigma\in K\}. \]
Ejemplo
Un triángulo geométrico con vértices $a,b,c$ y todas sus caras se transforma en \[ \bigl\{\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\bigr\}. \]

Para recorrer el camino inverso necesitamos el concepto de realización geométrica.

Complejos simpliciales

La realización geométrica reconstruye un complejo a partir de $K'$

Definición (realización geométrica)
Sea $K'$ un complejo abstracto con vértices $V(K')$. Una realización de $K'$ en $\R^n$ es una aplicación inyectiva $e:V(K')\to\R^n$ tal que, para todo $\sigma=\{v_0,\dots,v_k\}\in K'$, los puntos $e(v_0),\dots,e(v_k)$ son afínmente independientes.

A cada $\sigma$ le asociamos $|\sigma|:=\conv(e(v_0),\dots,e(v_k))$, y

\[ |K'|:=\{\,|\sigma|:\sigma\in K'\,\}. \]

Decimos que $K$ es una realización de $K'$ si $K=|K'|$.

Complejos simpliciales

Todo complejo abstracto de dimensión $k$ se realiza en $\R^{2k+1}$

Teorema (realización geométrica)
Todo complejo simplicial abstracto $K'$ de dimensión $k$ admite una realización geométrica en $\R^{2k+1}$.
Esquema de la demostración
  1. Elegimos $t_v$ reales distintos, uno por vértice $v\in V(K')$.
  2. Situamos $e(v):=(t_v,t_v^2,\dots,t_v^{2k+1})$ sobre la curva de momentos.
  3. Cualesquiera $2k+2$ puntos distintos de esta curva son afínmente independientes, luego los vértices de cualquier símplice de $K'$ lo son.

Complejos simpliciales

No hacemos distinción entre complejos geométricos y abstractos

  • Un complejo simplicial hereda la topología usual de $\R^n$: podemos verlo como espacio topológico.
  • Escribimos $K$ para la familia de símplices y $|K|$ para el espacio topológico subyacente.
Definición (triangulación)
$K$ es una triangulación de $X$ si $|K|$ es homeomorfo a $X$. Decimos que $X$ es triangulable si admite una triangulación.
Ejemplo central
$\mathbb S^2$ no es un complejo simplicial, pero la frontera de un tetraedro sí lo es, y es homeomorfa a $\mathbb S^2$. No todos los espacios topológicos son triangulables.

Complejos simpliciales

La combinatoria también genera complejos simpliciales

  • Un grafo $G=(V,E)$ es un complejo simplicial de dimensión $1$: vértices $V$, $1$-símplices $E$.
  • El complejo de cliques (o complejo bandera) de $G$ añade un $k$-símplice $\{v_0,\dots,v_k\}$ cuando esos vértices forman una clique en $G$.
  • El complejo de orden de un poset $(P,\le)$ tiene vértices $P$ y símplices las cadenas $p_0<p_1<\dots<p_k$.

Esto da lugar a la combinatoria topológica: usar métodos topológicos para estudiar objetos combinatorios.

Esqueletos, estrellas y enlaces

Un subcomplejo es cerrado bajo caras

Definición (subcomplejo)
Un subcomplejo de $K$ es un subconjunto $L\subseteq K$ que es a su vez un complejo simplicial, es decir, \[ \tau\in L,\quad \emptyset\neq\sigma\subseteq\tau \quad\Longrightarrow\quad \sigma\in L. \]

En particular $V(L)\subseteq V(K)$ y, en el caso geométrico, $|L|$ es un subespacio de $|K|$.

Esqueletos, estrellas y enlaces

El $l$-esqueleto retiene los símplices de dimensión baja

Definición ($l$-esqueleto)
Sea $K$ de dimensión $k$ y $0\le l\le k$. El $l$-esqueleto es \[ K^{(l)}:=\{\tau\in K:\dim\tau\leq l\}. \]
  • $K^{(0)}=V(K)$ es el conjunto de vértices.
  • $K^{(1)}$ contiene vértices y aristas: puede verse como un grafo.

Esqueletos, estrellas y enlaces

Estrella, estrella cerrada y enlace describen el entorno de $\sigma$

Estrella: $\St(\sigma):=\{\tau\in K:\sigma\subseteq\tau\}$ (cocaras de $\sigma$; no siempre subcomplejo).
Estrella cerrada: $\overline\St(\sigma)$, el subcomplejo más pequeño que contiene a $\St(\sigma)$; equivalentemente $\{\eta\in K:\eta\cup\sigma\in K\}$.
Enlace: $\Lk(\sigma):=\{\eta\in\overline\St(\sigma):\eta\cap\sigma=\emptyset\}$, un subcomplejo de $K$.

Lectura intuitiva: la estrella es el entorno inmediato de $\sigma$; el enlace describe las direcciones en las que $K$ se extiende alrededor de $\sigma$, sin tocarla.

Esqueletos, estrellas y enlaces

Ejemplo: dos triángulos pegados por una arista

Ejemplo
Sea $K$ formado por $abc$ y $bcd$ (que comparten $bc$), más las aristas $ae$ y $df$, con todas sus caras: $K=\{a,b,c,d,e,f,ab,ac,bc,bd,cd,ae,df,abc,bcd\}$. Para $\sigma=bc$, sus únicas cocaras son $bc,abc,bcd$, luego $\St(bc)=\{bc,abc,bcd\}$.
abc def
Complejo $K$
abc d
$\St(bc)$

Esqueletos, estrellas y enlaces

Ejemplo: estrella cerrada y enlace de $bc$

Ejemplo (continuación)
Al añadir las caras de $\St(bc)$: $\overline\St(bc)=\{a,b,c,d,ab,ac,bc,bd,cd,abc,bcd\}$. Los únicos símplices de esta estrella cerrada disjuntos con $bc$ son $a$ y $d$, luego $\Lk(bc)=\{a,d\}$.
abc d
$\overline\St(bc)$
ad
$\Lk(bc)$

02

Sección segunda

Construcción de complejos simpliciales para TDA

Nervio y teorema del nervio, Čech, Vietoris–Rips, Voronoi y Delaunay, complejos alpha y complejo de testigos.

Construcciones para TDA

Una nube de puntos, por sí sola, no tiene forma

  • Una nube de puntos finita tiene topología discreta.
  • La estrategia de TDA: construir sobre los puntos un andamiaje simplicial que codifique proximidad y conectividad de orden superior.
Idea clave
En TDA, un ejemplo especialmente relevante de complejo simplicial es el nervio: registra el patrón de intersección de una colección de conjuntos.

Construcciones para TDA

El nervio codifica patrones de intersección

Definición (nervio)
Sea $\mathcal U$ una colección finita de conjuntos. El nervio $N(\mathcal U)$ tiene vértices $\mathcal U$, y $\{u_0,\dots,u_k\}\subseteq\mathcal U$ es un $k$-símplice si y solo si \[ u_0\cap\cdots\cap u_k\neq\emptyset. \]
  • Cada conjunto de $\mathcal U$ produce un vértice.
  • Cada intersección no vacía por pares produce una arista, cada intersección triple un triángulo, y así sucesivamente.

Construcciones para TDA

El teorema del nervio transfiere la topología

Definición (buen cubrimiento)
$\mathcal U$ es un buen cubrimiento si cada intersección no vacía de elementos de $\mathcal U$ es contractible.
Teorema del Nervio
Si $\mathcal U$ es un buen cubrimiento por abiertos o por cerrados, entonces $|N(\mathcal U)|$ y $\bigcup\mathcal U$ son homotópicamente equivalentes.

Demostración: véase cualquier texto de topología algebraica, p. ej. Hatcher.

Construcciones para TDA

Čech reproduce la unión de bolas

Definición (complejo de Čech)
Para $P\subset(M,d)$ finito y $r>0$: \[ \check C_r(P):=N\bigl(\{B(p,r):p\in P\}\bigr), \qquad \{p_0,\ldots,p_k\}\in\check C_r(P) \iff \bigcap_i B(p_i,r)\ne\emptyset. \]

Si $M=\R^n$, las bolas (y sus intersecciones no vacías) son convexas, luego contractibles. Por el teorema del nervio:

\[ |\check C_r(P)|\simeq\bigcup_{p\in P}B(p,r). \]

Construcciones para TDA

Rips se construye solo con distancias por pares

Definición (complejo de Vietoris–Rips)
\[ \VR_r(P):=\bigl\{\sigma\subseteq P:\ d(p,q)\le 2r\ \text{para todos } p,q\in\sigma\bigr\}. \]
  • Un símplice de Rips es exactamente una clique del grafo de proximidad (distancia $\le 2r$).
  • Queda determinado por su $1$-esqueleto: más fácil de construir que Čech.
  • Desventaja: el número de símplices puede crecer exponencialmente con el número de vértices.

Construcciones para TDA

Proposición: Čech y Rips se intercalan

\[ \boxed{\check C_r(P)\subseteq\VR_r(P)\subseteq\check C_{2r}(P)} \]
Esquema de la demostración

Primera inclusión

Si $\sigma\in\check C_r(P)$, existe $q$ en la intersección de las bolas de radio $r$; la desigualdad triangular da $d(p_i,p_j)\le 2r$.

Segunda inclusión

Si $\sigma\in\VR_r(P)$, fijamos $p_0\in\sigma$: entonces $p_0\in B(p_i,2r)$ para todo $i$, luego la intersección de bolas de radio $2r$ es no vacía.

Construcciones para TDA

Observación: la convención de escala importa

Observación
Algunos textos definen $\VR_r(P)$ con $d(p,q)\le r$. Aquí mantenemos la convención de Dey y Wang, $d(p,q)\le 2r$, para que el intercalado $\check C_r\subseteq\VR_r\subseteq\check C_{2r}$ no cambie de escala artificialmente.

Delaunay y complejos alpha

Voronoi reparte el espacio según el punto más cercano

Definición (celda y diagrama de Voronoi)
Para $P\subset\R^n$ finito y $p\in P$, la celda de Voronoi de $p$ es \[ V_p:=\{x\in\R^n: d(p,x)\le d(q,x)\ \text{para todo } q\in P\}. \] El diagrama de Voronoi es $\Vor(P):=\{V_p:p\in P\}$.

Cada celda es un poliedro convexo (acotado o no); las celdas cubren $\R^n$ y sus interiores son disjuntos.

Delaunay y complejos alpha

El complejo de Delaunay es el nervio del diagrama de Voronoi

Definición (complejo de Delaunay)
\[ \Del(P):=N\bigl(\Vor(P)\bigr). \] $\sigma=\{p_0,\dots,p_k\}$ es un símplice si y solo si $V_{p_0}\cap\cdots\cap V_{p_k}\ne\emptyset$.
  • Geométricamente: existe un punto que tiene a $p_0,\dots,p_k$ entre sus vecinos más cercanos de $P$.
  • En dimensión $2$ y $3$ suele ser mucho más pequeño que Rips, pero costoso en dimensión ambiente alta.

Delaunay y complejos alpha

El complejo alpha recorta Delaunay a una escala $\alpha$

Definición (complejo alpha)
Con $D_p^\alpha:=V_p\cap B(p,\alpha)$, definimos $\Del_\alpha(P):=N(\{D_p^\alpha:p\in P\})$.
Dos propiedades (esquema de la justificación)
  • $\Del_\alpha(P)\subseteq\Del(P)\cap\check C_\alpha(P)$: cada $D_p^\alpha$ es intersección de dos convexos, luego convexo.
  • Por el teorema del nervio, $|\Del_\alpha(P)|\simeq\bigcup_p D_p^\alpha$; y esta unión coincide con $\bigcup_p B(p,\alpha)$ (el punto más cercano de $P$ testifica la pertenencia a algún $D_p^\alpha$).

Complejos dispersos

El complejo de testigos reduce el número de vértices

  • Elegimos un subconjunto finito de landmarks $Q\subset P$: serán los vértices del complejo.
  • Los puntos de $P\setminus Q$ se usan solo para decidir qué símplices se incorporan.
Definición (testigo débil)
$x\in P\setminus Q$ es testigo débil de $\sigma\subseteq Q$ si \[ d(x,q)\le d(x,p) \qquad\text{para todo } q\in\sigma,\ p\in Q\setminus\sigma. \]

Complejos dispersos

$W(Q,P)$ exige testigo en cada cara

Definición (complejo de testigos)
$W(Q,P)$ contiene $\sigma\subseteq Q$ cuando cada cara no vacía $\tau\le\sigma$ tiene algún testigo débil en $P\setminus Q$.
  • La condición cara a cara garantiza que $W(Q,P)$ sea un complejo simplicial.
  • En el caso euclídeo, $W(Q,P)\subseteq\Del(Q)$: aproxima de forma dispersa a Delaunay.
  • El número de vértices pasa de $|P|$ a $|Q|$; a cambio, el resultado depende de qué tan bien $Q$ cubre la nube.

Construcciones para TDA

La elección del complejo equilibra fidelidad y coste

ComplejoFortalezaLimitación
Čechteorema del nervio directocomprobar intersecciones múltiples
Ripssolo distancias por parestamaño combinatorio
Delaunay / alphafiel y dispersogeometría euclídea, coste en dim. alta
Testigospocos vérticesdepende de los landmarks

En práctica: la complejidad del complejo elegido condiciona todo el cómputo posterior.

03

Sección tercera

Aplicaciones simpliciales

Aplicaciones de vértices, coordenadas baricéntricas, realización, aproximación simplicial y contigüidad.

Aplicaciones simpliciales

Una aplicación simplicial envía símplices a símplices

Definición (aplicación de vértices y aplicación simplicial)
Una aplicación de vértices es $f:V(K)\to V(L)$. Es simplicial si para todo $\sigma=\{v_0,\dots,v_k\}\in K$, \[ f(\sigma):=\{f(v_0),\dots,f(v_k)\}\in L. \]
La dimensión puede bajar
Si $f(v_i)=f(v_j)$ para $i\ne j$, la imagen de $\sigma$ tiene menos vértices que $\sigma$: distintos vértices de $K$ pueden colapsar a uno solo de $L$.

Aplicaciones simpliciales

Las coordenadas baricéntricas describen los puntos de un símplice

Para $\sigma=\{v_0,\dots,v_k\}$, todo $x\in|\sigma|$ se escribe de forma única como

\[ x=\lambda_0v_0+\cdots+\lambda_kv_k, \qquad \lambda_i\ge0,\quad \sum_i\lambda_i=1. \]
  • Un vértice tiene peso $1$ y los demás peso $0$.
  • El baricentro tiene todos los pesos iguales a $1/(k+1)$.
  • $x$ está en una cara de $\sigma$ exactamente cuando los pesos fuera de esa cara son cero.

Aplicaciones simpliciales

La realización $|f|$ extiende $f$ a todo el espacio

Definición
Para $x=\sum_i\lambda_i v_i\in|\sigma|$, \[ |f|(x):=\sum_i\lambda_i f(v_i)\in|L|. \]
  • Los pesos baricéntricos se conservan; solo cambian los vértices.
  • Está bien definida: coincide en las caras compartidas por dos símplices.
  • Es afín en cada símplice y estas piezas se ensamblan en una aplicación continua $|f|:|K|\to|L|$.

Aplicaciones simpliciales

Toda aplicación continua se aproxima por una simplicial

Teorema de aproximación simplicial
Toda aplicación continua $h:|K|\to|L|$ puede deformarse continuamente hasta una aplicación simplicial, subdividiendo suficientemente los símplices de $K$ (y, si se desea, de $L$, para acercarse tanto como se quiera a $h$).

Demostración completa: Hatcher, Sección 2.C, Teorema 2C.1; o Munkres, Capítulo 2, Secciones 14–15.

Lectura: las aplicaciones simpliciales son el análogo combinatorio de las continuas.

Aplicaciones simpliciales

La contigüidad es el análogo combinatorio de una homotopía

Definición (contigüidad)
$f_1,f_2:K\to L$ son contiguas si para todo $\sigma\in K$, $f_1(\sigma)\cup f_2(\sigma)$ es un símplice de $L$.
Esquema de la demostración: contiguas $\Rightarrow$ homotópicas
  1. Si $x\in|\sigma|$, $|f_1|(x)$ y $|f_2|(x)$ están en el símplice $|f_1(\sigma)\cup f_2(\sigma)|$, que es convexo.
  2. Definimos $H(x,t):=(1-t)|f_1|(x)+t|f_2|(x)$.
  3. $H$ es una homotopía entre $|f_1|$ y $|f_2|$.

El recíproco no es cierto en general: la contigüidad es más fuerte que la homotopía.

Aplicaciones simpliciales

Basta contigüidad con la identidad para una equivalencia homotópica

Si existen $f:K\to L$, $g:L\to K$ tales que $g\circ f$ es contigua a $\mathrm{id}_K$ y $f\circ g$ es contigua a $\mathrm{id}_L$, entonces

\[ |f|,\ |g| \]

son equivalencias homotópicas inversas entre $|K|$ y $|L|$.

Por qué funciona
Composiciones contiguas a la identidad inducen (por el resultado anterior) aplicaciones homotópicas a $\mathrm{id}_{|K|}$ y $\mathrm{id}_{|L|}$.

Síntesis

La estructura conceptual del capítulo

símplices y complejos simpliciales (geométricos y abstractos)
esqueletos, estrellas y enlaces
construcciones para TDA: nervio, Čech, Rips, Delaunay, alpha, testigos
aplicaciones simpliciales, contigüidad $\sim$ homotopía

Autoevaluación

Preguntas para comprobar la comprensión

  1. ¿Por qué la frontera de un tetraedro es una triangulación de $\mathbb S^2$ pero un triángulo relleno no tiene «agujero»?
  2. ¿Qué papel juega el teorema del nervio para justificar Čech y alpha?
  3. ¿Por qué Rips es más fácil de construir que Čech, y a qué precio?
  4. ¿Por qué el complejo alpha requiere coordenadas euclídeas y Rips no?
  5. ¿Por qué la contigüidad implica homotopía pero no al revés?

Topología aplicada · Tema 01

Los símplices son los ladrillos.

Los complejos simpliciales ensamblan la forma combinatoria de un espacio.

Las aplicaciones simpliciales trasladan esa forma sin romper su combinatoria.

© 2026 MAMB · MATHS + AI