Geometría de subvariedades · Tema 00
Qué entendemos por subvariedad de una variedad diferenciable: coordenadas adaptadas, rango de la jacobiana y conjuntos de nivel de valores regulares.
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Hoja de ruta
A lo largo del curso $\bar M$ denotará una variedad diferenciable de dimensión $m$ (más adelante, dotada de una métrica semi-riemanniana) y $M$ una variedad de dimensión $n\leq m$ contenida en ella. Escribiremos $M^n\subset\bar M^m$ para hacer explícitas las dimensiones.
0.1
Sección 0.1
Subvariedades, inmersiones y el sistema de coordenadas que «endereza» $M$.
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Sea $\bar M$ una variedad diferenciable. Una variedad diferenciable $M$ es una subvariedad de $\bar M$ si
Gracias a (2) identificaremos siempre $T_pM$ con el subespacio $d\iota_p(T_pM)$ de $T_p\bar M$, de modo que $T_pM\subset T_p\bar M$.
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Una aplicación diferenciable $\phi:M\rightarrow\bar M$ con $d\phi_p$ inyectiva en todo punto se llama inmersión. La condición (1) no es superflua: la «figura ocho» \[\phi:(-\pi,\pi)\rightarrow\R^2,\qquad \phi(t)=(\sin 2t,\ \sin t),\] es una inmersión inyectiva, pero su imagen, con la topología de $\R^2$, no es homeomorfa a un intervalo: todo entorno del origen contiene puntos $\phi(t)$ con $t$ próximo a $\pm\pi$, que en $(-\pi,\pi)$ están «lejos» de $t=0$.
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Mueve $t$ hacia $\pm\pi$: el punto $\phi(t)$ vuelve al origen, aunque en $(-\pi,\pi)$ esté lejos de $t=0$.
La bola roja (un entorno del origen) corta a la imagen en tres arcos: la imagen no es localmente un intervalo.
En este curso subvariedad significa siempre subvariedad en el sentido de la definición 0.1 (también llamada regular o embebida). Casi todos los resultados locales valen igual para inmersiones: toda inmersión es, localmente, un embebimiento.
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Sea $M^n$ una variedad contenida en $\bar M^m$. Decimos que un sistema de coordenadas $x:U\subset\bar M\rightarrow \R^m$ está adaptado a $M$ si $x|_{U\cap M}$ tiene sus $m-n$ últimas coordenadas constantes, es decir, si existen constantes $c^{n+1},\ldots,c^m$ tales que \[x^{n+1}(q)=c^{n+1},\ \ldots,\ x^m(q)=c^m\qquad\text{para todo } q\in U\cap M.\]
Componiendo con una traslación de $\R^m$ podemos suponer siempre que las constantes son nulas: en coordenadas, $U\cap M$ queda dentro de un trozo de $\R^n\times\{0\}$ («carta de corte»).
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Sea $\phi:M^n\rightarrow \bar M^m$ una aplicación diferenciable y sea $p\in M$. Entonces la diferencial $d\phi_p$ es inyectiva si y solo si la matriz jacobiana de $\phi$ en $p$ tiene rango $n$ relativo a una (y por tanto, cualquier) elección de sistemas de coordenadas.
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Sean $y=(y^1,\ldots,y^n)$ coordenadas de $M$ en torno a $p$ y $x=(x^1,\ldots,x^m)$ coordenadas de $\bar M$ en torno a $\phi(p)$. Por la regla de la cadena, \[d\phi_p\Big(\frac{\partial}{\partial y^j}\Big|_p\Big)=\sum_{a=1}^m\frac{\partial(x^a\circ\phi)}{\partial y^j}(p)\,\frac{\partial}{\partial x^a}\Big|_{\phi(p)},\qquad j=1,\ldots,n,\] luego la matriz de $d\phi_p$ respecto de las bases coordenadas es la jacobiana $J=(\partial(x^a\circ\phi)/\partial y^j(p))$, de tamaño $m\times n$. Una aplicación lineal de un espacio de dimensión $n$ es inyectiva si y solo si su rango es $n$.
Si cambiamos de coordenadas, la nueva jacobiana es $J'=A\,J\,B$, con $A$ ($m\times m$) y $B$ ($n\times n$) las jacobianas (invertibles) de los cambios de coordenadas en $\bar M$ y en $M$; por tanto $\rango J'=\rango J$.
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Si $M\subset\bar M$ es una subvariedad de una variedad diferenciable $\bar M$ (la diferencial de la inclusión es inyectiva), entonces cada punto $p\in M$ admite un sistema de coordenadas adaptado a $M$. Más precisamente, existe un sistema de coordenadas $z=(z^1,\ldots,z^m)$ de $\bar M$ definido en un entorno abierto $U$ de $p$ tal que
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Sea $x=(x^1,\ldots,x^m)$ un sistema de coordenadas de $\bar M$ con dominio $U_0\ni p$ e $y$ uno de $M$ en torno a $p$, con dominio contenido en $U_0\cap M$. Paso 1: $n$ de las $x^a$ son coordenadas de $M$. Por el lema 0.4, $(\partial(x^a\circ\iota)/\partial y^j(p))$ tiene rango $n$; reordenando, su menor de las $n$ primeras filas es invertible. Por el teorema de la función inversa, $\psi=(x^1,\ldots,x^n)\circ\iota$ es un difeomorfismo de un abierto $V\ni p$ de $M$ sobre $W=\psi(V)\subset\R^n$. Paso 2: $M$ es un grafo en las coordenadas $x$. Para $u\in W$, \[x(\psi^{-1}(u))=(u,\ h(u)),\qquad h:=(x^{n+1},\ldots,x^m)\circ\psi^{-1}:W\rightarrow\R^{m-n},\] y $h$ es diferenciable: en las coordenadas $x$, el trozo $V$ de $M$ es el grafo de $h$.
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Paso 3: enderezamos el grafo. Sea $\Phi:W\times\R^{m-n}\rightarrow W\times\R^{m-n}$, $\Phi(u,w)=(u,w-h(u))$, difeomorfismo con inverso $(u,w)\mapsto(u,w+h(u))$. En $U_1:=x^{-1}(W\times\R^{m-n})$ tomamos $z=\Phi\circ x$, es decir, $z^i=x^i$ $(i\leq n)$ y $z^{n+j}=x^{n+j}-h^j(x^1,\ldots,x^n)$: es un sistema de coordenadas de $\bar M$ en $U_1$. Paso 4: el dominio (se usa la topología de subespacio). $V=M\cap O$ con $O$ abierto de $\bar M$; tomamos $U=U_1\cap O$.
Finalmente $(z^1,\ldots,z^n)|_{U\cap M}=\psi|_{U\cap M}$ es un sistema de coordenadas de $M$: esto prueba (2).
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Localmente, toda subvariedad $M^n\subset\bar M^m$ «es» $\R^n\times\{0\}\subset\R^m$: en un sistema de coordenadas adaptado, $M$ viene dada por las ecuaciones $z^{n+1}=\cdots=z^m=0$ y $z^1,\ldots,z^n$ son coordenadas de $M$. Además, los campos coordenados $\partial_1,\ldots,\partial_n$ son tangentes a $M$ en los puntos de $M$.
El recíproco también es cierto y proporciona un método cómodo para construir subvariedades (lema 0.6).
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Sea $N$ un subconjunto de una variedad $\bar M^m$ tal que para cada $p\in N$ existe un sistema de coordenadas $z=(z^1,\ldots,z^m)$ de $\bar M$ con dominio $U\ni p$ verificando $U\cap N=\{q\in U:\ z^{k+1}(q)=\cdots=z^m(q)=0\}$. Entonces $N$, con la topología inducida y las cartas $(z^1,\ldots,z^k)|_{U\cap N}$, es una subvariedad de $\bar M$ de dimensión $k$.
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Sea $\pi_k:\R^m\rightarrow\R^k$ la proyección sobre las $k$ primeras coordenadas. Cada $\zeta=\pi_k\circ z|_{U\cap N}$ es un homeomorfismo de $U\cap N$ sobre el abierto $\{u\in\R^k:(u,0)\in z(U)\}$, con inverso $u\mapsto z^{-1}(u,0)$. Los cambios de carta $\zeta_2\circ\zeta_1^{-1}(u)=\pi_k(z_2\circ z_1^{-1}(u,0))$ son diferenciables: tenemos un atlas diferenciable, y $N$ es Hausdorff y de base numerable por serlo $\bar M$. En estas cartas la inclusión es $u\mapsto(u,0)$, diferenciable y con diferencial inyectiva.
Subvariedades y coordenadas adaptadas
Sea $M\subset\bar M$ una subvariedad y sea $F:P\rightarrow\bar M$ una aplicación diferenciable con $F(P)\subset M$. Entonces $F$, vista como aplicación $F:P\rightarrow M$, es diferenciable.
$F:P\rightarrow M$ es continua porque $M$ tiene la topología inducida. Sea $p\in P$ y sea $z$ un sistema de coordenadas adaptado en torno a $F(p)$ (proposición 0.5). Por continuidad, en un entorno de $p$ se tiene $F\subset U\cap M$, y en él la expresión de $F:P\rightarrow M$ en la carta $(z^1,\ldots,z^n)|_{U\cap M}$ es $(z^1\circ F,\ldots,z^n\circ F)$, que es diferenciable porque $F:P\rightarrow\bar M$ lo es.
Se usará varias veces; por ejemplo, con curvas de $\bar M$ contenidas en $M$.
0.2
Sección 0.2
La forma más cómoda de fabricar subvariedades: conjuntos de nivel.
Valores regulares
Sea $\psi:M\rightarrow P$ una aplicación diferenciable. Decimos que $q_0\in\psi(M)$ es un valor regular de $\psi$ si $d\psi_p:T_pM\rightarrow T_{q_0}P$ es suprayectiva para todo $p\in\psi^{-1}(q_0)$.
Si $q_0\in\psi(M)$ es un valor regular de una aplicación diferenciable $\psi:M\rightarrow P$, entonces $N=\psi^{-1}(q_0)$ es una subvariedad de $M$ y \[\dim M=\dim P+\dim N.\] Además, para cada $p\in N$, $T_pN=\ker d\psi_p$.
La demostración es el ejercicio 0.3.
Valores regulares
Sea $f:\R^{n+1}\rightarrow\R$, $f(x)=\langle x,x\rangle=\sum_i(x^i)^2$. Para $v\in T_x\R^{n+1}\cong\R^{n+1}$, $df_x(v)=2\langle x,v\rangle$, suprayectiva si y solo si $x\neq0$. Como $0\notin f^{-1}(r^2)$ para $r>0$, $r^2$ es valor regular y \[\S^n(r)=\{x\in\R^{n+1}:\ \langle x,x\rangle=r^2\}\] es una subvariedad de dimensión $n$, con $T_x\S^n(r)=\ker df_x=x^\perp$.
Sea $q:\R^3\rightarrow\R$, $q(x,y,z)=-x^2+y^2+z^2$, con $dq_p(v)=2(-xv^1+yv^2+zv^3)$, no nula si $p\neq0$. Para todo $c\neq0$, $q^{-1}(c)$ es una superficie: un hiperboloide de una hoja si $c>0$ y de dos hojas si $c<0$.
Valores regulares
Arrastra para girar; el eje de simetría es el eje $x$.
Dotadas de la métrica de Lorentz, estas superficies serán protagonistas del curso (Temas 6 y 12).
Valores regulares
El valor $0$ no es regular para $q$, pues $dq_0=0$. De hecho, el cono $\Lambda=q^{-1}(0)=\{x^2=y^2+z^2\}$ no es una subvariedad de $\R^3$. En efecto, $\Lambda\setminus\{0\}$ es un abierto de $\Lambda$ y es una superficie ($0$ es valor regular de $q$ restringida a $\R^3\setminus\{0\}$); si $\Lambda$ fuera subvariedad tendría dimensión 2 y el origen tendría un entorno abierto $D\subset\Lambda$ homeomorfo a un disco, con $D\setminus\{0\}$ conexo. Pero $D\setminus\{0\}$ está contenido en la unión de los abiertos disjuntos $\Lambda\cap\{x>0\}$ y $\Lambda\cap\{x<0\}$ y corta a ambos, pues el origen es adherente a las dos hojas. Contradicción.
En cambio, $\Lambda\setminus\{0\}$ sí es una subvariedad: es el cono de luz, que reaparecerá en el Tema 12.
Valores regulares
Si $h:W\subset\R^n\rightarrow\R^k$ es diferenciable ($W$ abierto), su grafo $G_h=\{(u,h(u)):u\in W\}$ es una subvariedad de $\R^{n+k}$ de dimensión $n$: es el conjunto de nivel $\psi^{-1}(0)$ de la sumersión $\psi(u,w)=w-h(u)$ en $W\times\R^k$ (su jacobiana contiene el bloque identidad $I_k$). Recíprocamente, por el Paso 2 de la proposición 0.5, toda subvariedad es localmente un grafo.
Sea $\operatorname{Sym}(n)$ el espacio de las matrices simétricas $n\times n$ (de dimensión $n(n+1)/2$) y $\psi:\R^{n\times n}\rightarrow\operatorname{Sym}(n)$, $\psi(A)=A^tA$. Para $A\in\psi^{-1}(I)=O(n)$, $d\psi_A(B)=B^tA+A^tB$. Dada $C\in\operatorname{Sym}(n)$, $B=\tfrac12AC$ verifica $d\psi_A(B)=C$: $I$ es valor regular y $O(n)$ es una subvariedad de $\R^{n\times n}\cong\R^{n^2}$ de dimensión $n^2-n(n+1)/2=n(n-1)/2$.
Resumen
Ejercicios
0.1 — Prueba que la esfera $\S^n$ es una subvariedad de $\R^{n+1}.$
0.2 — Estudia si la aplicación identidad sobre $\R^{n+1}$ es un sistema de coordenadas adaptado a la esfera $\S^n$. De no ser así, busca un sistema de coordenadas que sí lo sea.
0.3 — Prueba el Corolario 1.36 (corolario 0.9).
Ejercicios
0.4$^\star$ — Prueba que el cilindro $C=\{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2=1\}$ y el toro de revolución $T=\{(\sqrt{x^2+y^2}-2)^2+z^2=1\}$ son subvariedades de $\R^3$. Construye en cada caso un sistema de coordenadas adaptado en torno a un punto arbitrario.
0.5$^\star$ — Sea $\phi:\R\rightarrow\R^2$, $\phi(t)=(t^2,t^3)$. Prueba que $\phi$ es diferenciable, inyectiva y un homeomorfismo sobre su imagen $C$ (la cúspide $y^2=x^3$), pero que $C$ no es una subvariedad de $\R^2$.
Ejercicios
0.6$^\star$ — Sea $M\subset\bar M$ una subvariedad y $p\in M$. Prueba que existe un abierto $U\ni p$ de $\bar M$ y una aplicación diferenciable $\psi:U\rightarrow\R^{m-n}$ que tiene $0$ como valor regular y verifica $U\cap M=\psi^{-1}(0)$.
0.7$^\star$ — Prueba que $SL(n,\R)=\{A:\det A=1\}$ es una subvariedad de $\R^{n\times n}$ de dimensión $n^2-1$. Sugerencia: $d(\det)_A(B)=\det A\,\tr(A^{-1}B)$.
Geometría de subvariedades · Tema 00
Una subvariedad es un subespacio cuya inclusión es una inmersión.
Localmente, toda subvariedad es $\R^n\times\{0\}$ en coordenadas adaptadas.
Los valores regulares fabrican subvariedades: esferas, hiperboloides, grupos de matrices.
© 2026 MAMB · MATHS + AI
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