Subespacio ortogonal

En un espacio no definido, un vector no nulo puede tener norma cero, y $v\perp v$ no implica $v=0$.

Sea $e_1,\ldots,e_n$ una base de $V$ y $G=(g_{ij})$, $g_{ij}=g(e_i,e_j)$. Si $v=\sum_iv^ie_i$, entonces $g(v,e_j)=\sum_ig_{ij}v^i$, es decir, el vector columna de las cantidades $g(v,e_j)$ es $G(v^1,\ldots,v^n)^t$. Por linealidad, $g(v,w)=0$ para todo $w$ si y solo si $G(v^1,\ldots,v^n)^t=0$. Así $g$ es no degenerada si y solo si $Gx=0$ solo tiene la solución trivial, es decir, $\det G\neq0$.

Si $\tilde e_j=\sum_ia_{ij}e_i$ es otra base, con $A=(a_{ij})$ invertible, la nueva matriz es $\tilde G=A^tGA$ y $\det\tilde G=(\det A)^2\det G$: la condición no depende de la base.

1. Sea $\Phi:V\rightarrow W^*$, $\Phi(v)=g(v,\cdot)|_W$, con $\ker\Phi=W^\perp$. La aplicación $\flat:V\rightarrow V^*$, $v\mapsto g(v,\cdot)$, es inyectiva por ser $g$ no degenerada, luego un isomorfismo. Dada $\alpha\in W^*$, la extendemos a $\tilde\alpha\in V^*$ y tomamos $v=\flat^{-1}(\tilde\alpha)$: $\Phi(v)=\alpha$, y $\Phi$ es suprayectiva. Por el teorema de la dimensión,

\[\dim V=\dim\ker\Phi+\dim\operatorname{im}\Phi=\dim W^\perp+\dim W.\]

1. $W\subset(W^\perp)^\perp$, y aplicando (1) dos veces, $\dim(W^\perp)^\perp=\dim V-\dim W^\perp=\dim W$.

1. Por el lema 1.7, $\dim(W+W^\perp)=\dim V-\dim(W\cap W^\perp)$; luego $V=W\oplus W^\perp$ si y solo si $W\cap W^\perp=0$. (2) Por el lema 1.7(2), $W^\perp\cap(W^\perp)^\perp=W^\perp\cap W$.

Existencia. Existe $v\in V$ con $g(v,v)\neq0$: en caso contrario, por la identidad de polarización \[g(v,w)=\tfrac12\big(g(v+w,v+w)-g(v,v)-g(w,w)\big)\] sería $g\equiv0$, lo que contradice que $g$ sea no degenerada. Sea $e_1=v/|v|$, con $g(e_1,e_1)=\pm1$. El subespacio $W=\operatorname{span}\{e_1\}$ es no degenerado, luego por el lema 1.9, $V=W\oplus W^\perp$ y $W^\perp$ es no degenerado de dimensión $n-1$. Por hipótesis de inducción $W^\perp$ tiene una base ortonormal $e_2,\ldots,e_n$, y $e_1,\ldots,e_n$ es una base ortonormal de $V$.

Fórmula. Si $v=\sum_ia^ie_i$, entonces $g(v,e_j)=a^j\varepsilon_j$, luego $a^j=\varepsilon_jg(v,e_j)$ (pues $\varepsilon_j^2=1$).

Sea $\nu$ el número de índices con $\varepsilon_i=-1$ en una base ortonormal dada. Probaremos que \[\nu=\max\{\dim U:\ U\subset V \text{ subespacio con } g|_U \text{ definida negativa}\},\] cantidad que no depende de ninguna base. Reordenando, $\varepsilon_1=\cdots=\varepsilon_\nu=-1$ y $\varepsilon_{\nu+1}=\cdots=\varepsilon_n=+1$. El subespacio $V_-=\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_\nu\}$ es definido negativo, luego el máximo es $\geq\nu$. Sea $U$ definido negativo y $V_+=\operatorname{span}\{e_{\nu+1},\ldots,e_n\}$, definido positivo: $U\cap V_+=0$, así que $\dim U+(n-\nu)\leq n$, es decir, $\dim U\leq\nu$.

$Q(v,w)$ es el determinante de la matriz de $g|_\Pi$ en la base $\{v,w\}$; basta aplicar el lema 1.4 a $g|_\Pi$. La segunda afirmación es la regla del cambio de base, $\det(A^tGA)=(\det A)^2\det G$.

1. $\operatorname{span}\{u\}$ es no degenerado de índice 1; por el lema 1.9 y el corolario 1.12, $u^\perp$ es no degenerado de índice 0.

1. Si $\ell_1,\ell_2$ son nulos y proporcionales, $g(\ell_1,\ell_2)=\lambda g(\ell_1,\ell_1)=0$. Recíprocamente, sea $u$ temporal y $\ell_i=a_iu+w_i$ con $w_i\in u^\perp$. Como $\ell_i$ es nulo, $a_i^2g(u,u)+g(w_i,w_i)=0$, luego $a_i\neq0$ y $|w_i|^2=a_i^2|g(u,u)|$. Si $g(\ell_1,\ell_2)=0$: $g(w_1,w_2)=a_1a_2|g(u,u)|=\pm|w_1||w_2|$, caso de igualdad de Cauchy–Schwarz en el espacio euclídeo $u^\perp$; luego $w_2=\lambda w_1$, $\lambda=a_2/a_1$, y $\ell_2=(a_2/a_1)\ell_1$.

Escribimos $v=au+w$ con $w\in u^\perp$: $g(u,v)=ag(u,u)$ y $g(v,v)=a^2g(u,u)+g(w,w)$. Como $g(u,u)\lt 0$ y $g(w,w)\geq0$, \[g(u,u)g(v,v)=a^2g(u,u)^2+g(u,u)g(w,w)\leq a^2g(u,u)^2=g(u,v)^2.\] Finalmente $a\neq0$ (si no, $v=w$ sería espacial), así que $g(u,v)=ag(u,u)\neq0$.