Geometría de subvariedades · Tema 02
Las subvariedades en las que la métrica ambiente induce, punto a punto, un producto escalar. A diferencia del caso riemanniano, no toda subvariedad lo es.
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Hoja de ruta
2.1
Sección 2.1
Un producto escalar en cada espacio tangente, con índice constante.
Variedades semi-riemannianas
Un tensor métrico $g$ en una variedad $M$ es un campo tensorial covariante de grado 2, simétrico y no degenerado en cada punto, de índice constante $\nu$: $g$ asigna diferenciablemente a cada $p\in M$ un producto escalar $g_p$ en $T_pM$, todos del mismo índice. Una variedad semi-riemanniana es un par $(M,g)$ formado por una variedad y un tensor métrico. Si $\nu=0$ es riemanniana, y si $\nu=1$ y $\dim M\geq2$ es lorentziana. Escribiremos a menudo $\langle v,w\rangle$ en lugar de $g(v,w)$.
Variedades semi-riemannianas
Si $g$ es simétrico y no degenerado en cada punto, en coordenadas $g_p$ viene dado por la matriz simétrica $(g_{ij}(p))$, cuyos valores propios dependen continuamente de $p$ y nunca se anulan ($\det(g_{ij}(p))\neq0$). El índice es el número de valores propios negativos (Sylvester), luego no puede cambiar localmente: en una variedad conexa, la condición de índice constante es automática.
2.2
Sección 2.2
Cuándo la restricción de la métrica ambiente es un tensor métrico.
Métrica inducida
Sea $(\bar M,\bar g)$ una variedad semi-riemanniana y $M\subset \bar M$ una subvariedad de $\bar M$ (la diferencial de la inclusión es inyectiva). Decimos que $M$ es una subvariedad semi-riemanniana de $\bar M$ si para todo punto $p\in M$, la métrica inducida en $M$, $g_p:T_pM\times T_pM\rightarrow \mathbb{R}$, definida como \[g(v,w)=\bar g(v,w)\] para todo $v,w\in T_pM$ es no degenerada (y su índice es constante en $M$, lo que es automático si $M$ es conexa).
Métrica inducida
\[g_{ij}=\bar g_{ij}|_M=\bar g(\partial_i,\partial_j)|_M,\qquad 1\leq i,j\leq n,\] son restricciones a $M$ de funciones diferenciables en $\bar M$: $g$ es diferenciable, simétrico y ${\mathcal F}(M)$-bilineal por serlo $\bar g$.
Métrica inducida
Sea $\phi:M\rightarrow\bar M$ una inmersión en una variedad semi-riemanniana $(\bar M,\bar g)$. Si el tensor $\phi^*\bar g$, dado por $(\phi^*\bar g)(v,w)=\bar g(d\phi_pv,d\phi_pw)$, es un tensor métrico, se le llama métrica inducida por $\phi$, y $\phi:(M,\phi^*\bar g)\rightarrow(\bar M,\bar g)$ es una inmersión isométrica.
Si $\bar M$ es riemanniana, toda subvariedad $M\subset\bar M$ es subvariedad semi-riemanniana (de hecho, riemanniana): la restricción de un producto interior a un subespacio sigue siendo definida positiva, luego no degenerada. En particular, toda subvariedad de $\R^n$ es una variedad riemanniana con la métrica inducida.
La relación entre las definiciones 2.2 y 2.3 es el contenido del ejercicio 2.1. En el caso indefinido la situación cambia radicalmente.
Métrica inducida
En $\R^2_1$, con $\langle v,w\rangle=-v^1w^1+v^2w^2$, consideremos las curvas regulares \[\alpha(t)=(\sinh t,\cosh t),\qquad\beta(t)=(\cosh t,\sinh t),\qquad\lambda(t)=(t,t).\] Como $\langle\alpha',\alpha'\rangle=-\cosh^2t+\sinh^2t=-1$, $\langle\beta',\beta'\rangle=-\sinh^2t+\cosh^2t=1$ y $\langle\lambda',\lambda'\rangle=0$, la curva $\alpha$ es una subvariedad semi-riemanniana temporal (índice 1), $\beta$ es espacial (índice 0) y la recta $\lambda$ no es una subvariedad semi-riemanniana: su métrica inducida es idénticamente nula.
Una curva regular es subvariedad semi-riemanniana de $\R^2_1$ si y solo si su vector tangente no es nulo en ningún punto (y mantiene el carácter causal en cada componente conexa).
Métrica inducida
Sea $S=\{p\in\R^3:(p^1)^2+(p^2)^2+(p^3)^2=1\}$, subvariedad de $\R^3$, con la métrica de Minkowski $\langle v,w\rangle=-v^1w^1+v^2w^2+v^3w^3$. Entonces $T_pS=\tilde p^\perp$ (ortogonal respecto de $\langle\cdot,\cdot\rangle$) con $\tilde p=(-p^1,p^2,p^3)$, y por el ejemplo 1.14 el tipo de $T_pS$ lo decide \[\langle\tilde p,\tilde p\rangle=-(p^1)^2+(p^2)^2+(p^3)^2=1-2(p^1)^2.\]
Métrica inducida
Así $S$ no es una subvariedad semi-riemanniana de $\R^3_1$, pero cada uno de los tres abiertos sí lo es.
Métrica inducida
Sea $f:W\subset\R^2\rightarrow\R$ diferenciable y $M=\{(f(u,v),u,v):(u,v)\in W\}\subset\R^3_1$. Los vectores $X_u=(f_u,1,0)$ y $X_v=(f_v,0,1)$ forman una base de $T_pM$ y la matriz de la métrica inducida es \[\begin{pmatrix}1-f_u^2&-f_uf_v\\-f_uf_v&1-f_v^2\end{pmatrix},\qquad\det=1-f_u^2-f_v^2=1-|\nabla f|^2.\] Por tanto $M$ es espacial donde $|\nabla f|\lt 1$ (entonces $1-f_u^2>0$ y ambos valores propios son positivos), lorentziana donde $|\nabla f|>1$ (determinante negativo: un valor propio de cada signo) y degenerada donde $|\nabla f|=1$.
Por ejemplo, el grafo de $f(u,v)=\sqrt{1+u^2+v^2}$ (la hoja superior del hiperboloide $-(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2=-1$) es espacial, pues $|\nabla f|^2=(u^2+v^2)/(1+u^2+v^2)\lt 1$.
Métrica inducida
El cono de luz $\Lambda=\{p\in\R^{n+1}_1\setminus\{0\}:\langle p,p\rangle=0\}$ es una subvariedad de $\R^{n+1}_1$ (por el corolario 0.9, ya que $d\langle p,p\rangle(v)=2\langle p,v\rangle$ no es idénticamente nula si $p\neq0$), con $T_p\Lambda=p^\perp$.
Como $p$ es nulo, $p\in p^\perp$, es decir $p\in T_p\Lambda\cap(T_p\Lambda)^\perp$: la métrica inducida es degenerada en todos los puntos. El cono de luz es la subvariedad no semi-riemanniana por excelencia.
2.3
Sección 2.3
Espacio normal, codimensión, coíndice y proyecciones.
Descomposición ortogonal
Dada una subvariedad semi-riemanniana $M$ de $\bar M$, $T_pM$ es un subespacio no degenerado de $T_p\bar M$. Por el lema 1.9, podemos descomponer el espacio tangente a $\bar M$, en cada punto $p\in M,$ como \[T_p\bar M=T_pM+T_pM^\perp=T_pM\oplus T_pM^\perp,\] donde $T_pM^\perp$ denota el subespacio ortogonal a $T_pM$, llamado espacio normal a $M$ en $p$. La suma es directa y $T_pM^\perp$ es también no degenerado.
La dimensión de $T_pM^\perp$, que es $m-n$ por el lema 1.7, se dice que es la codimensión de $M$ en $\bar M$. El índice de $T_pM^\perp$ se llama coíndice de $M$ en $\bar M$.
Por el corolario 1.12, $\ind\bar M=\ind M+\text{coíndice}$; en particular el coíndice es constante en $M$ (si $M$ tiene índice constante).
Descomposición ortogonal
Asociada a dicha descomposición, tenemos las proyecciones ortogonales \[\tan:T_p\bar M\rightarrow T_pM\quad \text{y} \quad \nor:T_p\bar M\rightarrow T_pM^\perp,\] de modo que $v=\tan v+\nor v$ para todo $v\in T_p\bar M$. Si $e_1,\ldots,e_n$ es una base ortonormal de $T_pM$ y $e_{n+1},\ldots,e_m$ una de $T_pM^\perp$ (con $\varepsilon_a=\langle e_a,e_a\rangle$), entonces (ejercicio 1.2) \[\tan v=\sum_{i=1}^n\varepsilon_i\langle v,e_i\rangle e_i,\qquad\nor v=\sum_{r=n+1}^m\varepsilon_r\langle v,e_r\rangle e_r.\]
Descomposición ortogonal
Sea $\S^n(r)\subset\R^{n+1}$ y $p\in\S^n(r)$. Como $T_p\S^n(r)=p^\perp$, el espacio normal es $\operatorname{span}\{p\}$ y, con $e_{n+1}=p/r$, \[\nor v=\frac{\langle v,p\rangle}{r^2}\,p,\qquad\tan v=v-\frac{\langle v,p\rangle}{r^2}\,p.\] Por ejemplo, para $n=2$, $r=1$ y el vector constante $v=(0,0,1)$ en $p=(x,y,z)$: $\nor v=z\,p$ y $\tan v=(-xz,-yz,1-z^2)$.
Descomposición ortogonal
Para una subvariedad semi-riemanniana, en cada punto: $T_p\bar M=T_pM\oplus T_pM^\perp$, ambos sumandos son no degenerados, $\dim T_pM^\perp=m-n$ e $\ind\bar M=\ind M+\text{coíndice}$. Toda la teoría del curso consiste en comparar la geometría de $\bar M$ con la de $M$ a través de las componentes tangente y normal de los objetos de $\bar M$.
Resumen
Ejercicios
2.1 — Comprueba que esta definición (definición 2.2) esencialmente es la que vimos el día anterior (definición 2.3) cuando la inmersión coincide con la inclusión.
2.2$^\star$ — Sea $M\subset\R^3_1$ la superficie de revolución $\{(x^1,x^2,x^3):(x^2)^2+(x^3)^2=h(x^1)^2\}$ con $h>0$ diferenciable. Prueba que $M$ es espacial donde $|h'|>1$, lorentziana donde $|h'|\lt 1$ y degenerada donde $|h'|=1$. Interpreta el resultado para el cilindro ($h\equiv1$), el cono ($h(t)=|t|$) y los hiperboloides ($h(t)=\sqrt{t^2\pm1}$).
Ejercicios
2.3$^\star$ — Sean $M_i\subset\bar M_i$ $(i=1,2)$ subvariedades semi-riemannianas. Prueba que $M_1\times M_2$ es una subvariedad semi-riemanniana de $\bar M_1\times\bar M_2$ (con la métrica producto) y calcula su índice y su coíndice.
2.4$^\star$ — Prueba que si $M\subset\bar M$ es una subvariedad semi-riemanniana y $\bar M$ es lorentziana, entonces $M$ es riemanniana o lorentziana (o, si $\dim M=1$, una curva espacial o temporal), y que si $M$ es riemanniana su espacio normal tiene índice 1.
2.5$^\star$ — Sea $C=\{(x^1,x^2,x^3)\in\R^3_1:(x^2)^2+(x^3)^2=1\}$ el cilindro de eje temporal. Prueba que $C$ es una subvariedad lorentziana de $\R^3_1$, calcula su espacio normal en cada punto y las proyecciones $\tan$ y $\nor$ del vector $(1,1,0)$ en el punto $(0,1,0)$.
Geometría de subvariedades · Tema 02
Una subvariedad es semi-riemanniana cuando la métrica ambiente es no degenerada sobre $T_pM$.
En ambiente indefinido hay subvariedades degeneradas y otras que cambian de tipo.
En cada punto, $T_p\bar M=T_pM\oplus T_pM^\perp$: toda la teoría compara las partes tangente y normal.
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