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Geometría de subvariedades · Tema 03

Campos a lo largo de M

Campos que toman valores en $T\bar M$ pero solo están definidos sobre $M$: su parte tangente, su parte normal y las referencias ortonormales adaptadas.

  • Campos a lo largo de M
  • Campos normales
  • Proyecciones globales
  • Referencias adaptadas

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Hoja de ruta

Objetivos del tema

  • Definir los campos de vectores a lo largo de una subvariedad, que toman valores en $T\bar M$ pero solo están definidos sobre $M$.
  • Distinguir entre campos tangentes y campos normales, y descomponer cualquier campo a lo largo de $M$ en sus partes tangente y normal.
  • Construir referencias ortonormales locales adaptadas a $M$.

En todo el tema $M^n$ es una subvariedad semi-riemanniana de $(\bar M^m,\bar g)$, con $\pi:T\bar M\rightarrow\bar M$ la proyección del fibrado tangente e $\iota:M\rightarrow\bar M$ la inclusión.

3.1

Sección 3.1

Campos a lo largo de $M$

Campos tangentes, campos normales y proyecciones globales.

Campos a lo largo de $M$

Un campo a lo largo de $M$ es un campo a lo largo de la inclusión

Definición 3.1

Si $M$ es una subvariedad de $\bar M$, un campo $X$ a lo largo de $M$ es un campo a lo largo de la inclusión $\iota:M\rightarrow \bar M$, esto es, una aplicación $X:M\rightarrow T\bar M$ tal que $\pi\circ X=\iota$ (es decir, $X_p\in T_p\bar M$ para cada $p\in M$).

El conjunto de los campos a lo largo de $M$ que son diferenciables se denota por $\bar {\mathfrak X}(M)$. Con las operaciones punto a punto, $\bar{\mathfrak X}(M)$ es un módulo sobre el anillo ${\mathcal F}(M)$.

Campos a lo largo de $M$

Campos a lo largo de $M$ que ya conocemos

  • Para cada campo $X\in {\mathfrak X}(\bar M)$ se tiene que $X|_M\in \bar{\mathfrak X}(M)$.
  • Todo campo tangente $V\in{\mathfrak X}(M)$ es, vía $d\iota$, un campo a lo largo de $M$: ${\mathfrak X}(M)\subset\bar{\mathfrak X}(M)$.

Campos a lo largo de $M$

Las proyecciones ortogonales globales

  • Un campo $Z\in \bar{\mathfrak X}(M)$ se dice normal si $Z_p\in T_pM^\perp,$ $\forall p\in M$.
  • El subconjunto de $\bar {\mathfrak X}(M)$ formado por los campos normales a $M$ se denota ${\mathfrak X}(M)^\perp$.
  • Se tienen las proyecciones ortogonales globales \[\tan:\bar{\mathfrak X}(M)\rightarrow {\mathfrak X}(M) \quad\text{y}\quad \nor:\bar{\mathfrak X}(M)\rightarrow {\mathfrak X}(M)^\perp \] tomando dichas proyecciones en cada punto $p\in M$ (que los campos obtenidos sean diferenciables es el ejercicio 3.2).
  • Para $X\in \bar{\mathfrak X}(M)$, se tiene la descomposición $$X=\tan X+\nor X.$$

Así, como ${\mathcal F}(M)$-módulos, $\bar{\mathfrak X}(M)={\mathfrak X}(M)\oplus{\mathfrak X}(M)^\perp$.

Campos a lo largo de $M$

Ejemplos: campos sobre la esfera

Ejemplo 3.2 (Campos sobre la esfera)

Sea $\S^n(r)\subset\R^{n+1}$ y $P$ el campo de posición de $\R^{n+1}$, $P_p=p$ (con la identificación usual $T_p\R^{n+1}\cong\R^{n+1}$).

  • $P|_{\S^n(r)}\in{\mathfrak X}(\S^n(r))^\perp$, pues $T_p\S^n(r)=p^\perp$. El campo $N=P/r$ es un campo normal unitario sobre la esfera.
  • Si $E$ es un campo constante de $\R^{n+1}$, entonces $\nor E=\frac{1}{r^2}\langle E,P\rangle P$ y $\tan E=E-\frac{1}{r^2}\langle E,P\rangle P$ (ejemplo 2.10).

Campos a lo largo de $M$

Ejemplo: la proyección tangente de un campo constante

Ejemplo 3.3 (El gradiente de la altura)

En $\S^2\subset\R^3$, con $E=e_3=(0,0,1)$ y $h=z|_{\S^2}$ la función altura, obtenemos $\tan e_3=e_3-z\,P=(-xz,-yz,1-z^2)$. Este campo se anula exactamente en los polos $(0,0,\pm1)$. Veremos (ejercicio 3.4) que $\tan e_3$ es precisamente el gradiente de $h$ en $\S^2$.

Campos a lo largo de $M$

$\tan e_3=e_3-z\,P$: la proyección tangente de un campo constante

Arrastra para girar

En cada punto $p$ de $\S^2$, el vector constante $e_3$ se descompone en $e_3=\tan e_3+\nor e_3$, con $\nor e_3=z\,p$.

El campo $\tan e_3$ se anula exactamente en los polos, donde $e_3$ es normal: son el máximo y el mínimo de la altura $h$.

Campos a lo largo de $M$

El espacio hiperbólico es una subvariedad riemanniana de $\R^{n+1}_1$

Ejemplo 3.4 (Campos normales al hiperboloide)

En $\R^{n+1}_1$ sea $\H^n(r)=\{p:\langle p,p\rangle=-r^2\}$. Como $d\langle P,P\rangle(v)=2\langle p,v\rangle$, se tiene de nuevo $T_p\H^n(r)=p^\perp$, luego $P|_{\H^n(r)}$ es normal. Ahora $\langle P,P\rangle=-r^2\lt 0$: $N=P/r$ es un campo normal unitario temporal, y por la proposición 1.15, $T_p\H^n(r)=p^\perp$ es espacial: $\H^n(r)$ es una subvariedad riemanniana de $\R^{n+1}_1$.

3.2

Sección 3.2

Expresión local y diferenciabilidad

Componentes, fórmula de $\tan X$ y referencias ortonormales adaptadas.

Expresión local y diferenciabilidad

Un campo a lo largo de $M$ es diferenciable si y solo si lo son sus componentes

Lema 3.5

Sea $X:M\rightarrow T\bar M$ un campo a lo largo de $M$ y sea $x=(x^1,\ldots,x^m)$ un sistema de coordenadas de $\bar M$ con dominio $U$. En $U\cap M$ se tiene \[X=\sum_{a=1}^mX^a\,\partial_a\big|_M,\qquad X^a=X(x^a)\ \ (\text{es decir, } X^a(p)=X_p(x^a)).\] El campo $X$ es diferenciable en $U\cap M$ si y solo si las funciones $X^a:U\cap M\rightarrow\R$ son diferenciables.

Expresión local y diferenciabilidad

Demostración: coordenadas naturales del fibrado tangente

Demostración

La expresión es la de un vector $X_p\in T_p\bar M$ en la base coordenada $\{\partial_a|_p\}$. Las coordenadas naturales de $T\bar M$ sobre $\pi^{-1}(U)$ son $(x^1\circ\pi,\ldots,x^m\circ\pi,\dot x^1,\ldots,\dot x^m)$, con $\dot x^a(v)=v(x^a)$. La expresión de $X$ en ellas es $p\mapsto(x^1(p),\ldots,x^m(p),X^1(p),\ldots,X^m(p))$, cuyas primeras $m$ componentes son diferenciables en $M$. Así, $X$ es diferenciable si y solo si lo son los $X^a$.

Expresión local y diferenciabilidad

Las proyecciones son diferenciables: la fórmula de $\tan X$

Proposición 3.6

Si $X\in\bar{\mathfrak X}(M)$, entonces $\tan X\in{\mathfrak X}(M)$ y $\nor X\in{\mathfrak X}(M)^\perp$. En un sistema de coordenadas adaptado $z=(z^1,\ldots,z^m)$, \[\tan X=\sum_{i,j=1}^n g^{ij}\,\langle X,\partial_j\rangle\,\partial_i,\] donde $(g^{ij})$ es la inversa de la matriz $(g_{ij})=(\langle\partial_i,\partial_j\rangle)_{1\leq i,j\leq n}$ de la métrica inducida.

La demostración es el ejercicio 3.2.

Expresión local y diferenciabilidad

Existen referencias ortonormales locales adaptadas a $M$

Proposición 3.7 (Referencias ortonormales adaptadas)

Sea $M^n$ una subvariedad semi-riemanniana de $\bar M^m$ y $p\in M$. Existen un entorno $\mathcal U$ de $p$ en $M$ y campos $E_1,\ldots,E_m\in\bar{\mathfrak X}(\mathcal U)$ tales que, en cada $q\in\mathcal U$, $\{E_1(q),\ldots,E_m(q)\}$ es una base ortonormal de $T_q\bar M$ con \[E_1,\ldots,E_n\in{\mathfrak X}(\mathcal U)\quad(\text{tangentes})\qquad\text{y}\qquad E_{n+1},\ldots,E_m\in{\mathfrak X}(\mathcal U)^\perp\quad(\text{normales}).\] Se dice que $\{E_a\}$ es una referencia ortonormal local adaptada a $M$.

Expresión local y diferenciabilidad

Demostración: Gram–Schmidt semi-riemanniano

Demostración (Paso 1: Gram–Schmidt semi-riemanniano)

Sea $\mathcal E$ un fibrado de espacios con producto escalar (aquí, $TM$ o el fibrado normal) y $F_1,\ldots,F_k$ secciones diferenciables que en $p$ forman una base ortonormal. Afirmamos que existen campos ortonormales $E_1,\ldots,E_k$ en un entorno de $p$ con $E_i(p)=F_i(p)$. Definimos recursivamente \[\tilde E_i=F_i-\sum_{j\lt i}\varepsilon_j\langle F_i,E_j\rangle E_j,\qquad E_i=\frac{\tilde E_i}{|\langle\tilde E_i,\tilde E_i\rangle|^{1/2}},\qquad\varepsilon_j=\langle E_j,E_j\rangle.\] En $p$, $\tilde E_i(p)=F_i(p)$ (pues $\langle F_i(p),F_j(p)\rangle=0$ para $j\lt i$), luego $\langle\tilde E_i,\tilde E_i\rangle(p)=\pm1\neq0$ y, por continuidad, $\langle\tilde E_i,\tilde E_i\rangle$ no se anula en un entorno de $p$, donde $E_i$ es diferenciable. Por construcción $\tilde E_i\perp E_j$ para $j\lt i$, y así los $E_i$ son ortonormales.

Expresión local y diferenciabilidad

Demostración: los campos iniciales, a partir de coordenadas adaptadas

Demostración (Paso 2: campos iniciales)

Sea $z$ un sistema de coordenadas adaptado en torno a $p$. Los campos $\partial_1,\ldots,\partial_n$ son tangentes a $M$ y forman una base de $T_qM$ en cada $q\in M$ cercano a $p$. Los campos $\nor\partial_{n+1},\ldots,\nor\partial_m$ son normales y diferenciables (proposición 3.6) y forman una base de $T_qM^\perp$: si $\sum_rc^r\nor\partial_r=0$, entonces $\sum_rc^r\partial_r\in T_qM=\operatorname{span}\{\partial_1,\ldots,\partial_n\}$, luego $c^r=0$; y $\dim T_qM^\perp=m-n$.

Tomemos bases ortonormales $\{v_i\}$ de $T_pM$ y $\{v_r\}$ de $T_pM^\perp$ y escribamos $v_i=\sum_jA_i^j\partial_j|_p$, $v_r=\sum_sB_r^s\nor\partial_s|_p$ con matrices constantes $A$, $B$. Los campos $F_i=\sum_jA_i^j\partial_j$ (tangentes) y $F_r=\sum_sB_r^s\nor\partial_s$ (normales) son diferenciables y ortonormales en $p$. Aplicando el Paso 1 por separado a los tangentes y a los normales obtenemos la referencia buscada.

Expresión local y diferenciabilidad

El fibrado normal

Observación 3.8 (El fibrado normal)

Los espacios normales forman un fibrado vectorial $TM^\perp=\bigcup_{p\in M}T_pM^\perp$ de rango $m-n$ sobre $M$, el fibrado normal, y ${\mathfrak X}(M)^\perp$ es el módulo de sus secciones diferenciables. La proposición 3.7 proporciona trivializaciones locales.

Globalmente, el fibrado normal puede no ser trivial (por ejemplo, no admitir ningún campo normal sin ceros): lo veremos para la banda de Möbius en el Tema 11.

Resumen

Resumen del tema

  • $\bar{\mathfrak X}(M)$: campos $X:M\rightarrow T\bar M$ con $X_p\in T_p\bar M$; contiene a ${\mathfrak X}(M)$ y a ${\mathfrak X}(M)^\perp$.
  • $\bar{\mathfrak X}(M)={\mathfrak X}(M)\oplus{\mathfrak X}(M)^\perp$ mediante $X=\tan X+\nor X$, y las proyecciones son diferenciables.
  • Localmente existen referencias ortonormales $\{E_1,\ldots,E_n,E_{n+1},\ldots,E_m\}$ adaptadas a $M$.

Ejercicios

Ejercicios

Ejercicios del guion

3.1 — Prueba que $X\in \bar {\mathfrak X}(M)$ si y solo si para cada $p\in M,$ $X$ define un vector $X_p\in T_p\bar M$ y para cualquier función $f\in {\mathcal F}(\bar M)$, se tiene que $X(f)\in {\mathcal F}(M)$.

3.2 — Prueba que si $X\in \bar{\mathfrak X}(M)$, entonces $\tan X\in {\mathfrak X}(M)$ y $\nor X\in {\mathfrak X}(M)^\perp$, esto es, que los campos a lo largo de $M$ que se obtienen con las proyecciones son diferenciables.

Ejercicios añadidos en los apuntes

3.3$^\star$ — Sea $f\in{\mathcal F}(\bar M)$ y $\nabla f$ su gradiente en $\bar M$ ($df(v)=\langle\nabla f,v\rangle$). Prueba que el gradiente en $M$ de la restricción $f|_M$ es $\tan(\nabla f|_M)$.

Ejercicios

Ejercicios complementarios $(\star)$

Ejercicios añadidos en los apuntes

3.4$^\star$ — Deduce del ejercicio anterior que en el ejemplo 3.3 el campo $\tan e_3$ es el gradiente de la función altura $h=z|_{\S^2}$, y que sus ceros son los puntos críticos de $h$.

3.5$^\star$ — Sea $M=f^{-1}(c)\subset\bar M$ con $c$ valor regular de $f$. Prueba que $\nabla f|_M$ es un campo normal a $M$. ¿Qué condición debe cumplir $\nabla f$ para que $M$ sea subvariedad semi-riemanniana? (Se estudiará con detalle en el Tema 11.)

3.6$^\star$ — Sea $T=\S^1\times\S^1\subset\R^4$ el toro de Clifford $\{(x^1,x^2,x^3,x^4):(x^1)^2+(x^2)^2=(x^3)^2+(x^4)^2=1\}$. Encuentra una referencia ortonormal global adaptada a $T$ (dos campos tangentes y dos normales definidos en todo $T$).

Geometría de subvariedades · Tema 03

Un campo a lo largo de $M$ vive en $T\bar M$ pero solo está definido sobre $M$.

Se descompone de forma única y diferenciable: $X=\tan X+\nor X$.

Las referencias ortonormales adaptadas son el andamiaje local de todos los cálculos.

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