Geometría de subvariedades · Tema 04
Derivar campos a lo largo de $M$ con la conexión de $\bar M$: su parte tangente es la conexión de Levi-Civita de $M$ y su parte normal, la segunda forma fundamental.
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Hoja de ruta
En todo el tema $M^n$ es una subvariedad semi-riemanniana de $(\bar M^m,\bar g)$, $\bar\nabla$ es la conexión de Levi-Civita de $\bar M$ y $\nabla$ la de $M$ (con la métrica inducida).
Hoja de ruta
\[\bar\nabla_VW=\underbrace{\nabla_VW}_{\text{tangente: geometría intrínseca}}+\underbrace{\sigma(V,W)}_{\text{normal: cómo se curva } M \text{ en } \bar M}\]
4.1
Sección 4.1
Derivar campos a lo largo de $M$ en direcciones tangentes.
La conexión inducida
Queremos derivar un campo $X\in\bar{\mathfrak X}(M)$ en la dirección de un campo $V\in{\mathfrak X}(M)$. Como $X$ solo está definido sobre $M$, no podemos aplicar directamente $\bar\nabla$; pero $V$ es tangente a $M$, así que «solo necesitamos conocer $X$ a lo largo de $M$». Para formalizarlo usamos extensiones.
Todo campo $V\in{\mathfrak X}(M)$ y, más en general, todo campo $X\in\bar{\mathfrak X}(M)$ se extiende localmente a un campo de $\bar M$: para cada $p\in M$ existen un abierto $U\ni p$ de $\bar M$ y $\bar X\in{\mathfrak X}(U)$ con $\bar X|_{U\cap M}=X|_{U\cap M}$.
La demostración es el ejercicio 4.1.
La conexión inducida
Sea $\bar \nabla$ la conexión de Levi-Civita de $\bar M$. Definamos \[\bar\nabla:{\mathfrak X}(M)\times \bar{\mathfrak X}(M)\rightarrow \bar{\mathfrak X}(M)\] para $V\in {\mathfrak X}(M)$ y $X\in \bar{\mathfrak X}(M)$ por $$\bar\nabla_VX:=\bar \nabla_{\bar V}{\bar X}|_M,$$ donde $\bar V$ y $\bar X$ son campos de $\bar M$, localmente definidos, tales que $\bar V|_M=V$ y $\bar X|_M=X$, respectivamente. La llamaremos la conexión inducida.
La conexión inducida
$\bar\nabla_VX$ está bien definido, es decir, no depende de las extensiones $\bar X$ y $\bar V$ escogidas. Además, $\bar\nabla_VX\in\bar{\mathfrak X}(M)$.
Sea $p\in M$ y $x=(x^1,\ldots,x^m)$ un sistema de coordenadas de $\bar M$ en torno a $p$, con símbolos de Christoffel $\bar\Gamma^b_{ac}$. Si $\bar V=\sum_a\bar V^a\partial_a$ y $\bar X=\sum_b\bar X^b\partial_b$, \[\bar\nabla_{\bar V}\bar X=\sum_{b=1}^m\Big(\bar V(\bar X^b)+\sum_{a,c=1}^m\bar V^a\,\bar X^c\,\bar\Gamma^b_{ac}\Big)\partial_b.\] En $p\in M$: $\bar V^a(p)=V^a(p)$, $\bar X^c(p)=X^c(p)$ y, como $V_p\in T_pM$, $V_p(h)=V_p(h|_M)$ para toda $h\in{\mathcal F}(\bar M)$; en particular $\bar V_p(\bar X^b)=V_p(X^b)$.
La conexión inducida
Por tanto \[(\bar\nabla_{\bar V}\bar X)(p)=\sum_{b=1}^m\Big(V_p(X^b)+\sum_{a,c=1}^mV^a(p)\,X^c(p)\,\bar\Gamma^b_{ac}(p)\Big)\partial_b|_p,\qquad(4.1)\] que solo depende de $V$ y de $X$ (y no de las extensiones). Las componentes que aparecen en (4.1) son funciones diferenciables en $M$, luego $\bar\nabla_VX\in\bar{\mathfrak X}(M)$ por el lema 3.5.
La fórmula (4.1) muestra que $(\bar\nabla_VX)(p)$ depende solo del vector $V_p$ y de los valores de $X$ en un entorno de $p$ en $M$ (de hecho, basta conocer $X$ a lo largo de una curva de $M$ con velocidad $V_p$). Esto permite escribir $\bar\nabla_vX$ para $v\in T_pM$.
La conexión inducida
Sea $\bar \nabla$ la conexión inducida sobre $M$. Si $V,W\in{\mathfrak X}(M)$ y $X,Y\in\bar{\mathfrak X}(M)$, entonces
La conexión inducida
(1), (2) y (3) se leen en la fórmula (4.1): es ${\mathcal F}(M)$-lineal en las componentes $V^a$, $\R$-lineal en las $X^b$, y si sustituimos $X^b$ por $fX^b$ obtenemos $V(fX^b)=V(f)X^b+fV(X^b)$.
\[[\bar V,\bar W]_ph=V_p(W(h|_M))-W_p(V(h|_M))=[V,W]_p(h|_M),\] es decir, $[\bar V,\bar W]|_M=[V,W]$. Como $\bar\nabla$ no tiene torsión, $\bar\nabla_VW-\bar\nabla_WV=(\bar\nabla_{\bar V}\bar W-\bar\nabla_{\bar W}\bar V)|_M=[V,W]$.
\[V\langle X,Y\rangle=(\bar V\langle\bar X,\bar Y\rangle)|_M=\langle\bar\nabla_{\bar V}\bar X,\bar Y\rangle|_M+\langle\bar X,\bar\nabla_{\bar V}\bar Y\rangle|_M=\langle\bar\nabla_VX,Y\rangle+\langle X,\bar\nabla_VY\rangle.\]
4.2
Sección 4.2
La conexión de $M$ y la segunda forma fundamental.
Componentes tangente y normal de $\bar\nabla_VW$
Si $V,W\in{\mathfrak X}(M)$ son tangentes, $\bar\nabla_VW\in\bar{\mathfrak X}(M)$ no tiene por qué ser tangente a $M$: para una circunferencia de radio $r$ en $\R^2$ recorrida con velocidad unitaria, la aceleración apunta hacia el centro, es decir, es normal a la curva. Descomponemos pues $\bar\nabla_VW=\tan\bar\nabla_VW+\nor\bar\nabla_VW$.
Para $M\subset \bar M$, si $V,W\in{\mathfrak X}(M)$, entonces \[\nabla_VW= \tan (\bar\nabla_VW),\] donde $\nabla$ es la conexión de Levi-Civita de $M$.
La demostración es el ejercicio 4.2.
Componentes tangente y normal de $\bar\nabla_VW$
La aplicación $\sigma:{\mathfrak X}(M)\times {\mathfrak X}(M)\rightarrow {\mathfrak X}(M)^\perp$ definida por \[\sigma(V,W)= \nor (\bar \nabla_VW)\] es ${\mathcal F}(M)$-bilineal y simétrica.
Linealidad en $V$: por el corolario 4.4(1), $\bar\nabla_{fV_1+hV_2}W=f\bar\nabla_{V_1}W+h\bar\nabla_{V_2}W$, y $\nor$ es ${\mathcal F}(M)$-lineal. Simetría: por el corolario 4.4(4), $\sigma(V,W)-\sigma(W,V)=\nor(\bar\nabla_VW-\bar\nabla_WV)=\nor[V,W]=0$, pues $[V,W]$ es tangente a $M$. Linealidad en $W$: se sigue de las dos anteriores. (Directamente: por el corolario 4.4(3), $\nor\bar\nabla_V(fW)=\nor(V(f)W)+f\nor\bar\nabla_VW=f\sigma(V,W)$, pues $\nor W=0$.)
Componentes tangente y normal de $\bar\nabla_VW$
La aplicación $\sigma$ definida en el lema anterior se conoce como la segunda forma fundamental (o tensor de forma) de $M\subset\bar M$. Sin ser un tensor estrictamente como los que vimos (toma valores en ${\mathfrak X}(M)^\perp$, no en ${\mathcal F}(M)$), se comporta de forma similar.
Por ser ${\mathcal F}(M)$-bilineal, $\sigma(V,W)(p)$ solo depende de $V_p$ y $W_p$. Así, en cada $p\in M$ tenemos una aplicación bilineal simétrica $\sigma_p:T_pM\times T_pM\rightarrow T_pM^\perp$, y escribiremos $\sigma(v,w)$ para $v,w\in T_pM$: $\sigma$ es una sección de $\operatorname{Sym}^2(T^*M)\otimes TM^\perp$. En la notación de O'Neill, $\sigma=\II$.
Componentes tangente y normal de $\bar\nabla_VW$
Teniendo en cuenta lo anterior, obtenemos la siguiente descomposición conocida como fórmula de Gauss: \[\bar\nabla_VW = \nabla_VW + \sigma(V,W),\qquad V,W\in{\mathfrak X}(M).\]
La segunda forma fundamental $\sigma$ es tensorial y simétrica, y mide en cada punto la diferencia entre la derivación en $\bar M$ y la derivación en $M$.
Componentes tangente y normal de $\bar\nabla_VW$
Una curva $M$ del plano euclídeo con un campo tangente $W$ ($V=W$) de módulo variable.
4.3
Sección 4.3
Curvas, superficies de $\R^3$, el cilindro y una curva de Minkowski.
Ejemplos y expresión local
Si $M$ es un abierto de $\bar M$, entonces $T_pM=T_p\bar M$, $T_pM^\perp=0$ y $\sigma=0$; la conexión inducida es la de $\bar M$.
Sea $\alpha:I\rightarrow\R^2$ una curva parametrizada por el arco cuya imagen $M$ es una subvariedad, $T=\alpha'$ y $n$ el normal unitario (girando $T$ un ángulo $\pi/2$). En $\R^2$, $\bar\nabla$ es la derivada usual, luego $\bar\nabla_TT=\alpha''$. Como $\langle\alpha',\alpha'\rangle=1$, derivando, $\alpha''\perp\alpha'$, así que \[\nabla_TT=\tan\alpha''=0,\qquad\sigma(T,T)=\alpha''=\kappa\,n,\] donde $\kappa$ es la curvatura (con signo) de la curva. Por bilinealidad, $\sigma(v,w)=\kappa\langle v,w\rangle n$ para $v,w\in T_pM$.
Ejemplos y expresión local
Sea $X:U\subset\R^2\rightarrow\R^3$ una parametrización de una superficie $M$ con normal unitario $N=X_u\times X_v/|X_u\times X_v|$. Los campos coordenados son $\partial_u=X_u$ y $\partial_v=X_v$, y $\bar\nabla_{\partial_i}\partial_j=X_{ij}$ (derivadas parciales segundas). Por tanto \[\sigma(\partial_i,\partial_j)=\langle X_{ij},N\rangle N,\qquad i,j\in\{u,v\}.\] Los coeficientes $\langle X_{uu},N\rangle$, $\langle X_{uv},N\rangle$, $\langle X_{vv},N\rangle$ son los coeficientes $e,f,g$ (o $L,M,N$) de la segunda forma fundamental clásica de la teoría de superficies: en codimensión uno, $\sigma$ es la forma clásica multiplicada por el normal $N$.
Ejemplos y expresión local
Sea $M$ el cilindro de radio $r$ en $\R^3$, $X(\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)$, con normal exterior $N=(\cos\theta,\sin\theta,0)$. Entonces $X_{\theta\theta}=(-r\cos\theta,-r\sin\theta,0)=-rN$ y $X_{\theta z}=X_{zz}=0$. Así \[\sigma(\partial_\theta,\partial_\theta)=-r\,N,\qquad\sigma(\partial_\theta,\partial_z)=\sigma(\partial_z,\partial_z)=0.\] Con la referencia ortonormal $e_1=\partial_\theta/r$, $e_2=\partial_z$: $\sigma(e_1,e_1)=-\frac1rN$, $\sigma(e_1,e_2)=\sigma(e_2,e_2)=0$. Además $\nabla_{\partial_i}\partial_j=\tan X_{ij}=0$: la conexión del cilindro es la del plano (es localmente isométrico a él).
Ejemplos y expresión local
En $\R^2_1$ sea $\alpha(s)=r\big(\cosh(s/r),\sinh(s/r)\big)$, una rama de $\{\langle p,p\rangle=-r^2\}$. Se tiene $\alpha'=(\sinh(s/r),\cosh(s/r))$ con $\langle\alpha',\alpha'\rangle=1$: es una curva espacial parametrizada por el arco. Su aceleración es $\alpha''=\frac1r(\cosh(s/r),\sinh(s/r))=\alpha/r^2$, que es ortogonal a $\alpha'$ y temporal. Con el normal unitario (temporal) $N=\alpha/r$ y $T=\alpha'$, \[\nabla_TT=0,\qquad\sigma(T,T)=\alpha''=\frac1rN,\qquad\text{luego}\qquad\sigma(v,w)=\frac1r\langle v,w\rangle N.\] Compárese con la circunferencia euclídea, donde $\sigma=-\frac1r\langle v,w\rangle N$ con $N$ exterior: el signo cambia porque ahora $\langle N,N\rangle=-1$ (volveremos sobre esto en el Tema 6).
Ejemplos y expresión local
Sea $z=(z^1,\ldots,z^m)$ un sistema de coordenadas adaptado a $M$ con símbolos de Christoffel $\bar\Gamma^a_{ij}$ (de $\bar\nabla$). Para $1\leq i,j\leq n$, \[\sigma(\partial_i,\partial_j)=\sum_{a=1}^m\bar\Gamma^a_{ij}\big|_M\,\nor\partial_a=\sum_{r=n+1}^m\bar\Gamma^r_{ij}\big|_M\,\nor\partial_r.\] En particular, si $\partial_{n+1},\ldots,\partial_m$ son normales a $M$ a lo largo de $M$, $\sigma(\partial_i,\partial_j)=\sum_{r>n}\bar\Gamma^r_{ij}\,\partial_r$.
Los campos $\partial_i$, $i\leq n$, son tangentes a $M$ y extensiones de sí mismos, luego $\bar\nabla_{\partial_i}\partial_j=\sum_a\bar\Gamma^a_{ij}\partial_a$ en $M$. Tomando la parte normal y usando que $\nor\partial_k=0$ para $k\leq n$, se obtiene la fórmula.
Resumen
Ejercicios
4.1 — Prueba que todo campo de vectores $V\in {\mathfrak X}(M)$ se extiende localmente a un campo de vectores $\bar V\in {\mathfrak X}(\bar M).$
4.2 — Prueba el Lema 4.3 (lema 4.5).
4.3$^\star$ — Sea $M$ el grafo de $f:\R^2\rightarrow\R$ en $\R^3$ y $p=(u_0,v_0,f(u_0,v_0))$ un punto crítico de $f$. Prueba que $\sigma(\partial_i,\partial_j)(p)=f_{ij}(u_0,v_0)\,e_3$, donde $f_{ij}$ son las derivadas segundas de $f$. Interpreta el resultado.
Ejercicios
4.4$^\star$ — Calcula la segunda forma fundamental del helicoide $X(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v)$ en $\R^3$ respecto de la base $\{X_u,X_v\}$.
4.5$^\star$ — Sean $M_1\times M_2\subset\bar M_1\times\bar M_2$ como en el ejercicio 2.3. Prueba que $\sigma((v_1,v_2),(w_1,w_2))=(\sigma_1(v_1,w_1),\sigma_2(v_2,w_2))$. Aplícalo al toro de Clifford $\S^1\times\S^1\subset\R^2\times\R^2$.
4.6$^\star$ — (Fórmula de Weingarten.) Para $V\in{\mathfrak X}(M)$ y $Z\in{\mathfrak X}(M)^\perp$ prueba que \[\langle\tan\bar\nabla_VZ,W\rangle=-\langle\sigma(V,W),Z\rangle\qquad\text{para todo } W\in{\mathfrak X}(M).\] Deduce que $\tan\bar\nabla_VZ$ es ${\mathcal F}(M)$-lineal en $Z$.
Geometría de subvariedades · Tema 04
Derivar en $\bar M$ un campo tangente produce una parte tangente y una parte normal.
La parte tangente es la conexión de Levi-Civita de $M$: la geometría intrínseca.
La parte normal es la segunda forma fundamental $\sigma$: mide cómo se curva $M$ en $\bar M$.
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