Geometría de subvariedades · Tema 05
La curvatura intrínseca de $M$ es la curvatura ambiente más un término cuadrático en $\sigma$. En $\R^3$, el Theorema Egregium.
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Hoja de ruta
Hoja de ruta
Para una variedad semi-riemanniana con conexión de Levi-Civita $\nabla$ (convenio de O'Neill), \[R(X,Y)Z=\nabla_{[X,Y]}Z-[\nabla_X,\nabla_Y]Z=\nabla_{[X,Y]}Z-\nabla_X\nabla_YZ+\nabla_Y\nabla_XZ,\] y, si $v,w\in T_pM$ generan un plano no degenerado $\Pi$ (es decir, $Q(v,w)\neq0$; corolario 1.13), la curvatura seccional de $\Pi$ es \[K(\Pi)=K(v,w)=\frac{\langle R(v,w)v,w\rangle}{Q(v,w)},\qquad Q(v,w)=\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle-\langle v,w\rangle^2,\] que no depende de la base $\{v,w\}$ de $\Pi$ elegida. Denotaremos con barra los objetos de $\bar M$.
Hoja de ruta
Con este convenio la esfera unidad tiene $K=1$. Otros textos (do Carmo, Lee, Chen) usan $R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z$, que es el opuesto: al consultar otra bibliografía hay que tenerlo en cuenta.
5.1
Sección 5.1
Curvatura de $M$ = curvatura de $\bar M$ + un término cuadrático en $\sigma$.
La ecuación de Gauss
Sea $M$ una subvariedad semi-riemanniana de $\bar M$ con $R$ y $\bar R$ sus respectivos tensores de curvatura y $\sigma$ la segunda forma fundamental. Entonces para campos $V,W,X$ e $Y$, todos tangentes a $M$, se tiene que \[\begin{aligned}\g{R(V,W)X}{Y}={}&\g{\bar R(V,W)X}{Y}+ \g{\sigma(V,X)}{\sigma(W,Y)}\\&-\g{\sigma(V,Y)}{\sigma(W,X)}.\end{aligned}\]
La ecuación de Gauss
Paso 1: $\bar R$ sobre campos tangentes se calcula con la conexión inducida. Sean $\bar V,\bar W,\bar X$ extensiones locales de $V,W,X$ (lema 4.1). Como $\bar\nabla_{\bar W}\bar X$ es una extensión de $\bar\nabla_WX\in\bar{\mathfrak X}(M)$ y $[\bar V,\bar W]|_M=[V,W]$ (demostración del corolario 4.4(4)), restringiendo a $M$, \[\bar R(V,W)X=\bar\nabla_{[V,W]}X-\bar\nabla_V\big(\bar\nabla_WX\big)+\bar\nabla_W\big(\bar\nabla_VX\big),\qquad(5.1)\] donde en el segundo miembro $\bar\nabla$ es la conexión inducida sobre campos a lo largo de $M$.
Paso 2: la parte tangente de $\bar\nabla_V$ de un campo normal. Si $Z\in{\mathfrak X}(M)^\perp$ e $Y\in{\mathfrak X}(M)$, derivando $\langle Z,Y\rangle=0$ (corolario 4.4(5)), \[\langle\bar\nabla_VZ,Y\rangle=-\langle Z,\bar\nabla_VY\rangle=-\langle Z,\sigma(V,Y)\rangle.\qquad(5.2)\]
La ecuación de Gauss
Por la fórmula de Gauss, $\bar\nabla_WX=\nabla_WX+\sigma(W,X)$, luego \[\bar\nabla_V\bar\nabla_WX=\bar\nabla_V\nabla_WX+\bar\nabla_V(\sigma(W,X))=\nabla_V\nabla_WX+\sigma(V,\nabla_WX)+\bar\nabla_V(\sigma(W,X)).\] Multiplicando por $Y\in{\mathfrak X}(M)$ (el término $\sigma(V,\nabla_WX)$ es normal) y usando (5.2) con $Z=\sigma(W,X)$: \[\langle\bar\nabla_V\bar\nabla_WX,Y\rangle=\langle\nabla_V\nabla_WX,Y\rangle-\langle\sigma(W,X),\sigma(V,Y)\rangle.\] Intercambiando $V$ y $W$: $\langle\bar\nabla_W\bar\nabla_VX,Y\rangle=\langle\nabla_W\nabla_VX,Y\rangle-\langle\sigma(V,X),\sigma(W,Y)\rangle$. Por último, $\langle\bar\nabla_{[V,W]}X,Y\rangle=\langle\nabla_{[V,W]}X,Y\rangle$, porque $[V,W]$ es tangente y $\langle\sigma([V,W],X),Y\rangle=0$. Sustituyendo en (5.1): \[\langle\bar R(V,W)X,Y\rangle=\langle R(V,W)X,Y\rangle+\langle\sigma(W,X),\sigma(V,Y)\rangle-\langle\sigma(V,X),\sigma(W,Y)\rangle.\]
La ecuación de Gauss
Todos los términos de la ecuación de Gauss son tensoriales, así que la igualdad es puntual: vale para vectores $v,w,x,y\in T_pM$. El primer miembro es intrínseco de $M$ (depende solo de la métrica inducida), mientras que el segundo usa la geometría de $\bar M$ y la forma en que $M$ está situada en ella.
Si $v$ y $w$ definen un plano no degenerado tangente a $M$, entonces \[K(v,w)=\bar K(v,w)+\frac{\g{\sigma(v,v)}{\sigma(w,w)}-\g{\sigma(v,w)}{\sigma(v,w)}}{\g{v}{v}\g{w}{w}-\g{v}{w}^2}.\]
La ecuación de Gauss
El plano $\operatorname{span}\{v,w\}\subset T_pM$ es también un plano no degenerado de $T_p\bar M$, con el mismo $Q(v,w)$, luego $\bar K(v,w)$ tiene sentido. Basta tomar $V=v$, $W=w$, $X=v$, $Y=w$ en el teorema 5.1, dividir por $Q(v,w)$ y usar la simetría de $\sigma$: $\langle\sigma(v,w),\sigma(w,v)\rangle=\langle\sigma(v,w),\sigma(v,w)\rangle$.
La ecuación de Gauss
Si $M$ es una subvariedad semi-riemanniana de $\R^n_{\nu}$, entonces \[K(v,w)=\frac{\g{\sigma(v,v)}{\sigma(w,w)}-\g{\sigma(v,w)}{\sigma(v,w)}}{\g{v}{v}\g{w}{w}-\g{v}{w}^2}.\]
$\R^n_\nu$ es llana: en coordenadas naturales $\bar g_{ij}$ es constante, los símbolos de Christoffel son nulos y $\bar R=0$. Se aplica el corolario 5.3.
La ecuación de Gauss
La curvatura intrínseca de $M$ = curvatura ambiente + un término cuadrático en $\sigma$. En particular, si $\bar M=\R^n_\nu$, la curvatura de $M$ está completamente determinada por la segunda forma fundamental. Si $\sigma$ es «grande», $M$ está muy curvada dentro de $\bar M$; pero la curvatura intrínseca solo detecta cierta combinación cuadrática de $\sigma$ (el cilindro tiene $\sigma\neq0$ y $K=0$).
5.2
Sección 5.2
La fórmula clásica $K=(eg-f^2)/(EG-F^2)$ y ejemplos.
Superficies de $\R^3$: el Theorema Egregium
Sea $M\subset\R^3$ una superficie con normal unitario $N$ (local) y escribamos $\sigma(v,w)=\II(v,w)\,N$, con $\II$ la segunda forma fundamental clásica (escalar). Si $\{v,w\}$ es una base de $T_pM$, por el corolario 5.4, \[K=\frac{\II(v,v)\II(w,w)-\II(v,w)^2}{\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle-\langle v,w\rangle^2}.\] Para una parametrización $X(u,v)$, con $E,F,G$ los coeficientes de la primera forma fundamental y $e=\langle X_{uu},N\rangle$, $f=\langle X_{uv},N\rangle$, $g=\langle X_{vv},N\rangle$ (ejemplo 4.12), se obtiene la conocida fórmula \[K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}.\]
Superficies de $\R^3$: el Theorema Egregium
El primer miembro de la ecuación de Gauss solo depende de la métrica: la curvatura de Gauss $K$, aunque se calcula con la segunda forma fundamental, es invariante por isometrías locales. En nuestro contexto es una consecuencia inmediata del teorema 5.1.
Superficies de $\R^3$: el Theorema Egregium
Para el cilindro de radio $r$ (ejemplo 4.13), con $e_1=\partial_\theta/r$, $e_2=\partial_z$: $\sigma(e_1,e_1)=-\frac1rN$ y $\sigma(e_1,e_2)=\sigma(e_2,e_2)=0$. Por tanto \[K(e_1,e_2)=\frac{\langle-\frac1rN,0\rangle-\langle0,0\rangle}{1}=0.\] El cilindro está curvado en $\R^3$ ($\sigma\neq0$), pero es intrínsecamente llano, como el plano.
Para $\S^2(r)\subset\R^3$ veremos en el Tema 6 que $\sigma(v,w)=-\frac1r\langle v,w\rangle N$, con $N=P/r$. Entonces, para $v,w$ ortonormales, $K(v,w)=\frac{1}{r^2}\langle N,N\rangle-0=\frac{1}{r^2}$.
Superficies de $\R^3$: el Theorema Egregium
Sea $0\lt r\lt R$ y $X(\theta,\varphi)=\big((R+r\cos\varphi)\cos\theta,\ (R+r\cos\varphi)\sin\theta,\ r\sin\varphi\big)$. Un cálculo directo da \[E=(R+r\cos\varphi)^2,\ F=0,\ G=r^2,\qquad N=-(\cos\varphi\cos\theta,\cos\varphi\sin\theta,\sin\varphi),\] \[e=\langle X_{\theta\theta},N\rangle=(R+r\cos\varphi)\cos\varphi,\qquad f=0,\qquad g=\langle X_{\varphi\varphi},N\rangle=r,\]
Superficies de $\R^3$: el Theorema Egregium
Por tanto \[K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}=\frac{\cos\varphi}{r\,(R+r\cos\varphi)}.\] La curvatura es positiva en la parte exterior del toro ($|\varphi|\lt\pi/2$), negativa en la interior y nula en las dos circunferencias $\varphi=\pm\pi/2$. (El signo de $K$ no depende de la elección del normal: al cambiar $N$ por $-N$ cambian $e,f,g$ de signo y $eg-f^2$ no varía.)
Superficies de $\R^3$: el Theorema Egregium
Toro con $R=2$, $r=1$: \[K(\varphi)=\frac{\cos\varphi}{r\,(R+r\cos\varphi)}.\]
Superficies de $\R^3$: el Theorema Egregium
Para el helicoide $X(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v)$, por el ejercicio 4.4, $\sigma(X_u,X_u)=\sigma(X_v,X_v)=0$ y $\sigma(X_u,X_v)=-(1+u^2)^{-1/2}N$, con $\langle X_u,X_u\rangle=1$, $\langle X_u,X_v\rangle=0$, $\langle X_v,X_v\rangle=1+u^2$. Así \[K=\frac{0-\frac{1}{1+u^2}}{1+u^2}=-\frac{1}{(1+u^2)^2}\lt 0.\]
Superficies de $\R^3$: el Theorema Egregium
En $\R^3_1$ sea $\H^2(r)=\{\langle p,p\rangle=-r^2\}$ con normal unitario temporal $N=P/r$. Veremos en el Tema 6 que $\sigma(v,w)=\frac1r\langle v,w\rangle N$. Para $v,w$ ortonormales: \[K(v,w)=\frac{1}{r^2}\langle N,N\rangle=-\frac{1}{r^2}.\] ¡La misma cuenta que en la esfera, pero el carácter temporal del normal invierte el signo!
Superficies de $\R^3$: el Theorema Egregium
Sea $T=\S^1\times\S^1\subset\R^4$ y $e_1,e_2$ los campos tangentes unitarios del ejercicio 3.6. Por el ejercicio 4.5, $\sigma(e_1,e_1)=-(x^1,x^2,0,0)$, $\sigma(e_2,e_2)=-(0,0,x^3,x^4)$, $\sigma(e_1,e_2)=0$, y \[K(e_1,e_2)=\langle(x^1,x^2,0,0),(0,0,x^3,x^4)\rangle-0=0.\] El toro de Clifford es una superficie compacta llana en $\R^4$, algo imposible en $\R^3$ (ejercicio 5.3).
Resumen
Ejercicios
5.1$^\star$ — Verifica todos los cálculos del ejemplo 5.7 y prueba que $\int_TK\,dA=0$ (usa $dA=\sqrt{EG-F^2}\,d\theta\,d\varphi$).
5.2$^\star$ — Sea $M\subset\R^3_1$ una superficie espacial con normal unitario (temporal) $N$ y escribe $\sigma=\II\,N$. Prueba que $K=-\dfrac{eg-f^2}{EG-F^2}$.
5.3$^\star$ — Sea $M\subset\R^3$ una superficie compacta. Prueba que existe un punto de $M$ con $K>0$. Sugerencia: considera un punto $p$ de $M$ a distancia máxima del origen y estudia la función $t\mapsto|\alpha(t)|^2$ para curvas $\alpha$ en $M$ con $\alpha(0)=p$.
Ejercicios
5.4$^\star$ — Sea $M$ el grafo de $f:\R^2\rightarrow\R$ en $\R^3$. Prueba que $K=\dfrac{f_{uu}f_{vv}-f_{uv}^2}{(1+f_u^2+f_v^2)^2}$.
5.5$^\star$ — Sea $M^n\subset\R^{n+1}$ una hipersuperficie y $p\in M$ tal que $\sigma_p\neq0$ y $K\equiv0$ en $p$ (todas las curvaturas seccionales en $p$ son nulas), con $n\geq2$. Prueba que existe un subespacio de $T_pM$ de dimensión $n-1$ en el que $\sigma_p$ se anula idénticamente.
Geometría de subvariedades · Tema 05
La ecuación de Gauss: curvatura de $M$ = curvatura de $\bar M$ + un término cuadrático en $\sigma$.
En $\R^n_\nu$, la curvatura de $M$ la determina solo la segunda forma fundamental.
La curvatura de Gauss es intrínseca: el Theorema Egregium.
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