Geometría de subvariedades · Tema 06
La esfera $\S^n(r)\subset\R^{n+1}$ y el espacio hiperbólico $\H^n(r)\subset\R^{n+1}_1$: la misma cuenta, con el signo que decide el carácter causal del normal.
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Hoja de ruta
6.1
Sección 6.1
Todas las curvaturas seccionales iguales.
Curvatura constante
Una variedad semi-riemanniana $(M,g)$ de dimensión $n\geq2$ tiene curvatura constante $C\in\R$ si $K(\Pi)=C$ para todo plano no degenerado $\Pi\subset T_pM$ y todo $p\in M$.
$M$ tiene curvatura constante $C$ si y solo si su tensor de curvatura es \[R(X,Y)Z=C\big(\langle Z,X\rangle Y-\langle Z,Y\rangle X\big)\qquad\text{para todos } X,Y,Z\in{\mathfrak X}(M).\]
Curvatura constante
Si $R$ tiene esa forma, para $v,w$ con $Q(v,w)\neq0$: $\langle R(v,w)v,w\rangle=C\big(\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle-\langle v,w\rangle\langle v,w\rangle\big)=C\,Q(v,w)$, luego $K(v,w)=C$. El recíproco se sigue de que un tensor «de tipo curvatura» queda determinado por sus curvaturas seccionales sobre planos no degenerados (proposición A.9 del apéndice A), aplicada a $R$ y a $R_1(X,Y)Z=C(\langle Z,X\rangle Y-\langle Z,Y\rangle X)$.
Curvatura constante
$\R^n_\nu$ tiene curvatura constante $C=0$: en las coordenadas naturales la métrica es constante, los símbolos de Christoffel se anulan y $R=0$.
6.2
Sección 6.2
$\sigma(V,W)=(-1/r)\langle V,W\rangle N$ y $K=1/r^2$.
La esfera
La esfera $\S^n(r)=\{x\in\R^{n+1}: \left< x,x \right>=r^2\}$ tiene curvatura constante $K=1/r^2$ y segunda forma fundamental dada por $$\sigma(V,W)=(-1/r) \left< V,W\right> N,$$ donde $N=P/r$ es el normal unitario sobre $\S^n(r)$, siendo $P$ el campo de posición.
La esfera
El normal. Por el ejemplo 0.10, $T_p\S^n(r)=p^\perp$, luego $P$ es normal a la esfera y, como $\langle P,P\rangle=r^2$, $N=P/r$ es un normal unitario (el exterior). La codimensión es 1 y $T_p\S^n(r)^\perp=\operatorname{span}\{N_p\}$ con $\langle N,N\rangle=1$, luego para todo $Z\in\bar{\mathfrak X}(\S^n(r))$ se tiene $\nor Z=\langle Z,N\rangle N$.
Derivada del campo de posición. En $\R^{n+1}$ la conexión de Levi-Civita $\bar\nabla=D$ es la derivación usual de las componentes. Como $P=\sum_ix^i\partial_i$, para todo vector $v=\sum_iv^i\partial_i$, \[D_vP=\sum_iv(x^i)\partial_i=\sum_iv^i\partial_i=v.\]
La esfera
La segunda forma fundamental. Sean $V,W\in{\mathfrak X}(\S^n(r))$. Como $\langle W,N\rangle=0$, derivando (corolario 4.4(5)), \[\langle D_VW,N\rangle=-\langle W,D_VN\rangle=-\frac1r\langle W,D_VP\rangle=-\frac1r\langle W,V\rangle.\] Por tanto $\sigma(V,W)=\nor D_VW=\langle D_VW,N\rangle N=-\frac1r\langle V,W\rangle N$.
La curvatura. Por el corolario 5.4, si $v,w$ generan un plano (todos los planos son no degenerados: la métrica es riemanniana), \[K(v,w)=\frac{\frac{1}{r^2}\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle\langle N,N\rangle-\frac{1}{r^2}\langle v,w\rangle^2\langle N,N\rangle}{\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle-\langle v,w\rangle^2}=\frac{1}{r^2}.\]
6.3
Sección 6.3
La misma cuenta en $\R^{n+1}_1$, con un normal temporal.
El espacio hiperbólico
Consideremos ahora el espacio de Minkowski $\R^{n+1}_1$, con $\langle v,w\rangle=-v^1w^1+\sum_{j\geq2}v^jw^j$, y el conjunto \[\H^n(r)=\{x\in\R^{n+1}_1:\ \langle x,x\rangle=-r^2\}.\] Como en el ejemplo 3.4, $\H^n(r)$ es una hipersuperficie con $T_p\H^n(r)=p^\perp$; el normal $N=P/r$ es temporal unitario ($\langle N,N\rangle=-1$) y $\H^n(r)$ es riemanniana. Tiene dos componentes conexas, $x^1>0$ y $x^1\lt 0$; cada una de ellas es un modelo del espacio hiperbólico de dimensión $n$ (el modelo del hiperboloide).
El espacio hiperbólico
$\S^2(1)\subset\R^3$: la esfera con su normal unitario $N=P/r$ (espacial).
$\H^2(1)\subset\R^3_1$: las dos hojas (eje temporal vertical), dentro del cono de luz, con el normal $N=P/r$, que es temporal: los vectores son euclídeamente de longitud variable, pero todos tienen $\langle N,N\rangle=-1$.
El espacio hiperbólico
El espacio hiperbólico $\H^n(r)=\{x\in\R^{n+1}_1: \left< x,x \right>=-r^2\}$ tiene curvatura constante $K=-1/r^2$ y segunda forma fundamental dada por $$\sigma(V,W)=1/r \left< V,W \right> N,$$ donde $N=P/r$ es el normal unitario sobre $\H^n(r)$, siendo $P$ el campo de posición.
La demostración es el ejercicio 6.1.
El espacio hiperbólico
El cálculo es el mismo en ambos casos: $D_VP=V$ implica $\langle D_VW,N\rangle=-\frac1r\langle V,W\rangle$. La diferencia está en el signo $\varepsilon=\langle N,N\rangle$: $\nor Z=\varepsilon\langle Z,N\rangle N$, luego \[\sigma(V,W)=-\frac{\varepsilon}{r}\langle V,W\rangle N\qquad\text{y}\qquad K=\frac{\varepsilon}{r^2}.\] Este patrón se generalizará a todas las hipercuádricas en los Temas 12 y 13.
El espacio hiperbólico
Todo espacio de curvatura constante es localmente isométrico a uno de los modelos $\R^n_\nu$, $\S^n_\nu(r)$ o $\H^n_\nu(r)$ (estos dos últimos se estudian en el Tema 12); véase O'Neill, cap. 8. En el caso riemanniano: el espacio euclídeo, la esfera y el espacio hiperbólico. El espacio hiperbólico admite otros modelos clásicos (semiplano superior, disco de Poincaré), isométricos a una hoja de $\H^n(r)$.
Resumen
Ejercicios
6.1 — El espacio hiperbólico $\H^n(r)=\{x\in\R^{n+1}_1: \left< x,x \right>=-r^2\}$ tiene curvatura constante $K=-1/r^2$ y segunda forma fundamental dada por $\sigma(V,W)=1/r \left< V,W \right> N,$ donde $N=P/r$ es el normal unitario sobre $\H^n(r)$, siendo $P$ el campo de posición.
6.2$^\star$ — Prueba que la proyección estereográfica desde $(-r,0,\ldots,0)$, $\Phi(x)=\dfrac{r\,(x^2,\ldots,x^{n+1})}{r+x^1}$, es una isometría de la hoja superior de $\H^n(r)$ sobre el disco $\{|y|\lt r\}$ con la métrica $\dfrac{4r^4}{(r^2-|y|^2)^2}\sum(dy^i)^2$ (modelo de Poincaré).
Ejercicios
6.3$^\star$ — (Lema de Schur.) Sea $M$ una variedad semi-riemanniana conexa de dimensión $n\geq3$ tal que, en cada punto $p$, todas las curvaturas seccionales de planos no degenerados de $T_pM$ valen un mismo número $C(p)$. Prueba que $C$ es constante. Sugerencia: usa la segunda identidad de Bianchi y contrae dos veces.
6.4$^\star$ — Sea $M^n\subset\R^{n+1}$ una hipersuperficie contenida en la esfera $\S^n(r)$. Prueba que $M$ es un abierto de $\S^n(r)$ y deduce de nuevo el valor de $\sigma$ usando solo que $M\subset\S^n(r)$.
6.5$^\star$ — Comprueba directamente, usando la proposición 6.2, que en un espacio de curvatura constante $C$ se tiene $\Ric=(n-1)C\,g$.
Geometría de subvariedades · Tema 06
La esfera y el espacio hiperbólico se calculan con la misma cuenta: $D_VP=V$.
El signo lo decide el carácter causal del normal: $\sigma=-\frac{\varepsilon}{r}\langle V,W\rangle N$, $K=\frac{\varepsilon}{r^2}$.
Son los modelos de curvatura constante positiva y negativa.
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