Geometría de subvariedades · Tema 07
El campo vectorial curvatura media $H$ es la traza normalizada de la segunda forma fundamental: subvariedades minimales y de curvatura media constante.
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Hoja de ruta
7.1
Sección 7.1
La traza respecto de la métrica no depende de la base.
Traza de una forma bilineal con valores vectoriales
Sea $(V,g)$ un espacio vectorial de dimensión $n$ con un producto escalar, $E$ un espacio vectorial y $\beta:V\times V\rightarrow E$ bilineal y simétrica. Para cualquier base $e_1,\ldots,e_n$ de $V$, con $g_{ij}=g(e_i,e_j)$ y $(g^{ij})=(g_{ij})^{-1}$, el vector \[\tr_g\beta=\sum_{i,j=1}^ng^{ij}\,\beta(e_i,e_j)\in E\] no depende de la base. Si la base es ortonormal, $\tr_g\beta=\sum_{i=1}^n\varepsilon_i\,\beta(e_i,e_i)$ con $\varepsilon_i=g(e_i,e_i)$.
Traza de una forma bilineal con valores vectoriales
Sea $\tilde e_k=\sum_iA_{ik}e_i$ otra base, con $A$ invertible. La matriz de $g$ en la nueva base es $\tilde G=A^tGA$, luego $\tilde G^{-1}=A^{-1}G^{-1}(A^t)^{-1}$. Entonces \[\begin{aligned}\sum_{k,l}\tilde g^{kl}\beta(\tilde e_k,\tilde e_l)&=\sum_{i,j}\Big(\sum_{k,l}A_{ik}\tilde g^{kl}A_{jl}\Big)\beta(e_i,e_j)\\&=\sum_{i,j}\big(A\tilde G^{-1}A^t\big)_{ij}\beta(e_i,e_j)=\sum_{i,j}g^{ij}\beta(e_i,e_j).\end{aligned}\] Para una base ortonormal, $(g_{ij})=\operatorname{diag}(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)$, cuya inversa es ella misma.
7.2
Sección 7.2
La «media» de $\sigma$: un campo normal.
El campo curvatura media
Dada una subvariedad semi-riemanniana $M$ de $\bar M$, llamamos campo vectorial curvatura media $H$ de $M\subset \bar M$ a la contracción métrica normalizada de su segunda forma fundamental, es decir, \[H=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varepsilon_i \sigma(E_i,E_i),\] siendo $E_1,\ldots,E_n$ una referencia local ortonormal y $\varepsilon_i=\g{E_i}{E_i}$, $i=1,\ldots,n$.
Por el lema 7.1 (con $\beta=\sigma_p$ y $E=T_pM^\perp$), $H_p=\frac1n\tr_g\sigma_p$ no depende de la referencia ortonormal: $H$ está globalmente definido, y es diferenciable porque localmente existen referencias ortonormales (proposición 3.7). Así, $H\in{\mathfrak X}(M)^\perp$.
El campo curvatura media
Una subvariedad semi-riemanniana $M$ de $\bar M$ se dice que es minimal si $H=0$, y de curvatura media constante si $\g{H}{H}$ es una función constante.
El nombre «minimal» procede del cálculo de variaciones: una subvariedad riemanniana compacta (con borde) $M$ es minimal si y solo si es un punto crítico del funcional volumen para todas las variaciones que fijan el borde (fórmula de la primera variación, $\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\operatorname{vol}(M_t)=-n\int_M\langle H,\xi\rangle\,dV$, con $\xi$ el campo variacional). Para subvariedades espaciales de variedades lorentzianas, las subvariedades con $H=0$ son localmente maximizantes del volumen y se llaman a menudo maximales.
El campo curvatura media
Si $M$ es una hipersuperficie con normal unitario $N$, $\varepsilon=\langle N,N\rangle$, entonces $H=h\,N$ con $h=\varepsilon\langle H,N\rangle$ (la curvatura media escalar), y $\langle H,H\rangle=\varepsilon h^2$. En este caso «curvatura media constante» equivale a $|h|$ constante.
7.3
Sección 7.3
Esferas, espacio hiperbólico, cilindro, catenoide y helicoide.
Ejemplos
Por el Tema 6, para $\S^n(r)\subset\R^{n+1}$ se tiene $\sigma(V,W)=-\frac1r\langle V,W\rangle N$, luego \[H=\frac1n\sum_i\varepsilon_i\Big(-\frac1r\varepsilon_i\Big)N=-\frac1rN,\qquad\langle H,H\rangle=\frac{1}{r^2}.\] Análogamente, para $\H^n(r)\subset\R^{n+1}_1$, $H=\frac1rN$ y $\langle H,H\rangle=-\frac{1}{r^2}$. Ambas tienen curvatura media constante y no son minimales.
Para el cilindro de radio $r$ en $\R^3$ (ejemplo 4.13), $H=\frac12\big(\sigma(e_1,e_1)+\sigma(e_2,e_2)\big)=-\frac{1}{2r}N$: curvatura media constante $\langle H,H\rangle=\frac{1}{4r^2}$.
Ejemplos
Sea $X(u,v)=(\cosh u\cos v,\ \cosh u\sin v,\ u)$. Entonces $X_u=(\sinh u\cos v,\sinh u\sin v,1)$, $X_v=(-\cosh u\sin v,\cosh u\cos v,0)$, \[E=G=\cosh^2u,\quad F=0,\qquad N=\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}=\frac{(-\cos v,-\sin v,\sinh u)}{\cosh u}.\] Con $X_{uu}=(\cosh u\cos v,\cosh u\sin v,0)$, $X_{uv}=(-\sinh u\sin v,\sinh u\cos v,0)$ y $X_{vv}=(-\cosh u\cos v,-\cosh u\sin v,0)$ obtenemos \[\sigma(\partial_u,\partial_u)=\langle X_{uu},N\rangle N=-N,\qquad\sigma(\partial_u,\partial_v)=0,\qquad\sigma(\partial_v,\partial_v)=N.\] Por el lema 7.1, $H=\frac12\Big(\frac{1}{\cosh^2u}\sigma(\partial_u,\partial_u)+\frac{1}{\cosh^2u}\sigma(\partial_v,\partial_v)\Big)=\frac{1}{2\cosh^2u}(-N+N)=0.$
Ejemplos
Para $X(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v)$, con $g_{uu}=1$, $g_{uv}=0$, $g_{vv}=1+u^2$ y $\sigma(\partial_u,\partial_u)=\sigma(\partial_v,\partial_v)=0$ (ejercicio 4.4): \[H=\tfrac12\Big(\sigma(\partial_u,\partial_u)+\tfrac{1}{1+u^2}\sigma(\partial_v,\partial_v)\Big)=0.\]
Ambas superficies minimales tienen curvatura de Gauss negativa en todos sus puntos: $K=-1/\cosh^4u$ (catenoide) y $K=-1/(1+u^2)^2$ (helicoide).
Ejemplos
En ambas, $H=0$: las dos curvaturas principales son opuestas y la superficie «se dobla hacia arriba» en una dirección tanto como «hacia abajo» en la perpendicular.
7.4
Sección 7.4
La segunda forma fundamental de una composición.
Subvariedades de subvariedades
Muchas subvariedades interesantes viven dentro de otra subvariedad (por ejemplo, de una esfera). La siguiente fórmula relaciona las segundas formas fundamentales.
Sean $M\subset\tilde M\subset\bar M$, con $\tilde M$ subvariedad semi-riemanniana de $\bar M$ y $M$ subvariedad semi-riemanniana de $\tilde M$. Denotemos por $\sigma$, $\sigma^{\tilde M}$ y $\tilde\sigma$ las segundas formas fundamentales de $M\subset\bar M$, $M\subset\tilde M$ y $\tilde M\subset\bar M$. Entonces, para $V,W\in{\mathfrak X}(M)$, \[\sigma(V,W)=\sigma^{\tilde M}(V,W)+\tilde\sigma(V,W),\] y, si $n=\dim M$, los campos curvatura media verifican $H=H^{\tilde M}+\frac1n\tr_g\big(\tilde\sigma|_{TM\times TM}\big)$.
Subvariedades de subvariedades
La métrica inducida en $M$ por $\bar M$ coincide con la inducida por $\tilde M$, luego $M$ es subvariedad semi-riemanniana de $\bar M$. Sea $\tilde\nabla$ la conexión de $\tilde M$. Aplicando dos veces la fórmula de Gauss (definición 4.9), primero a $\tilde M\subset\bar M$ (con $V,W$ tangentes a $M\subset\tilde M$) y después a $M\subset\tilde M$, \[\bar\nabla_VW=\tilde\nabla_VW+\tilde\sigma(V,W)=\nabla_VW+\sigma^{\tilde M}(V,W)+\tilde\sigma(V,W).\] Aquí $\nabla_VW\in T_pM$; $\sigma^{\tilde M}(V,W)\in T_p\tilde M$ es ortogonal a $T_pM$; y $\tilde\sigma(V,W)\in T_p\tilde M^\perp\subset T_pM^\perp$. Por la unicidad de la descomposición $T_p\bar M=T_pM\oplus T_pM^\perp$, la parte normal de $\bar\nabla_VW$ es $\sigma^{\tilde M}(V,W)+\tilde\sigma(V,W)$. La fórmula para $H$ se obtiene tomando trazas.
Subvariedades de subvariedades
Sea $M^n\subset\S^N(1)\subset\R^{N+1}$. Como $\tilde\sigma(V,W)=-\langle V,W\rangle P$ (ejemplo 6.4 con $r=1$), la proposición 7.10 da \[\sigma(V,W)=\sigma^{\S}(V,W)-\langle V,W\rangle P,\qquad H=H^{\S}-P.\] Por tanto $M$ es minimal en la esfera si y solo si su curvatura media en $\R^{N+1}$ es $H=-P$.
Subvariedades de subvariedades
Sea $T=\S^1(\frac{1}{\sqrt2})\times\S^1(\frac{1}{\sqrt2})=\{(x^1)^2+(x^2)^2=(x^3)^2+(x^4)^2=\frac12\}\subset\S^3(1)$. Con los campos unitarios tangentes $e_1,e_2$ a cada factor, y por el ejercicio 4.5 (circunferencias de radio $1/\sqrt2$, para las que $\sigma(e,e)=-\frac{1}{r^2}\times\text{posición}=-2\times\text{posición}$), \[\sigma(e_1,e_1)=-2(x^1,x^2,0,0),\qquad\sigma(e_2,e_2)=-2(0,0,x^3,x^4),\qquad\sigma(e_1,e_2)=0,\] luego $H=\frac12\big(\sigma(e_1,e_1)+\sigma(e_2,e_2)\big)=-P$. Por el ejemplo anterior, $H^{\S}=0$: el toro de Clifford es una superficie minimal (compacta) de $\S^3$.
Subvariedades de subvariedades
$H$ es la «media» de $\sigma$: la traza respecto de la métrica, dividida por $n$. Es un campo normal. Las subvariedades minimales ($H=0$) generalizan las superficies de área mínima (pompas de jabón), y las de curvatura media constante no nula generalizan las esferas (burbujas).
Resumen
Ejercicios
7.1 — Sea $x^1, \ldots, x^{n+k}$ un sistema de coordenadas adaptado para $M \subset \bar{M}$. Probar que el campo vectorial curvatura media $H$ es \[H = \frac{1}{n} \sum_{1 \le i,j \le n} g^{ij} \, \sigma(\partial_i, \partial_j).\] Y si $\partial_{n+1}, \ldots, \partial_{n+k}$ son normales a $M$, entonces \[\sigma(\partial_i, \partial_j) = \sum_{r>n} \overline{\Gamma}_{ij}^r \, \partial_r.\]
Ejercicios
7.2$^\star$ — Prueba que la curvatura media escalar (respecto de $N=(-f_u,-f_v,1)/W$, $W=\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}$) del grafo de $f:\R^2\rightarrow\R$ en $\R^3$ es \[h=\frac{(1+f_v^2)f_{uu}-2f_uf_vf_{uv}+(1+f_u^2)f_{vv}}{2W^3}.\] Deduce la ecuación de las superficies minimales y comprueba que la superficie de Scherk $f(u,v)=\log(\cos v)-\log(\cos u)$ es minimal.
7.3$^\star$ — Sea $M^n\subset\R^N$ una subvariedad y $P$ el campo de posición. Prueba la fórmula de Beltrami $\Delta_M(P|_M)=nH$, donde $\Delta_M$ actúa sobre cada componente y $\Delta f=\tr_g\operatorname{Hess}f$. Deduce que no existen subvariedades riemannianas compactas minimales (sin borde) de dimensión $n\geq1$ en $\R^N$.
Ejercicios
7.4$^\star$ — Sean $k,l\geq1$ y $r_1^2+r_2^2=1$. Prueba que $\S^k(r_1)\times\S^l(r_2)\subset\S^{k+l+1}(1)$ es minimal si y solo si $r_1^2=\frac{k}{k+l}$ y $r_2^2=\frac{l}{k+l}$.
7.5$^\star$ — Sea $M=\S^k(\rho)\times\{c\}$ una esfera de dimensión $k$ contenida en el subespacio afín $\R^{k+1}\times\{c\}$ de $\R^N$. Calcula su segunda forma fundamental y su curvatura media en $\R^N$.
Geometría de subvariedades · Tema 07
$H$ es la media de $\sigma$: un campo normal, independiente de la base.
Minimales ($H=0$): catenoide, helicoide, toro de Clifford en $\S^3$.
Curvatura media constante: esferas, espacio hiperbólico, cilindros.
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