Geometría de subvariedades · Tema 08
Una geodésica de $M$ es una curva que «no acelera dentro de $M$»: toda su aceleración en $\bar M$ es normal y vale $\sigma(\alpha',\alpha')$.
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Hoja de ruta
Hoja de ruta
Sea $\alpha:I\subset\R\rightarrow M$ una curva diferenciable. Denotamos por ${\mathfrak X}(\alpha)$ el conjunto de los campos de vectores diferenciables a lo largo de $\alpha$ en $\bar M$, es decir, aplicaciones diferenciables $t\mapsto Y(t)\in T_{\alpha(t)}\bar M$. Un campo $Y\in{\mathfrak X}(\alpha)$ es tangente a $M$ si $Y(t)\in T_{\alpha(t)}M$ para todo $t$.
La conexión de Levi-Civita induce una derivada covariante a lo largo de curvas (apéndice A), caracterizada por ser $\R$-lineal, verificar $(fY)'=\frac{df}{dt}Y+fY'$ y $(V\circ\alpha)'(t)=\nabla_{\alpha'(t)}V$ para campos $V$ de la variedad. Usaremos la notación \[\dot Y=\frac{\bar DY}{dt}\ \ (\text{en } \bar M),\qquad Y'=\frac{DY}{dt}\ \ (\text{en } M, \text{ si } Y \text{ es tangente a } M).\] En particular $\ddot\alpha$ es la aceleración de $\alpha$ como curva de $\bar M$ y $\alpha''$ su aceleración como curva de $M$.
8.1
Sección 8.1
La fórmula de Gauss a lo largo de una curva.
Derivación a lo largo de curvas
Sea $M$ una subvariedad semi-riemanniana de $\bar M$, $\alpha:I\subset \R\rightarrow M$ una curva diferenciable e $Y\in {\mathfrak X}(\alpha)$ un campo tangente a $M$ a lo largo de la curva $\alpha.$ Entonces \[\dot Y=Y'+\sigma(\alpha',Y),\] donde $\dot Y=\frac{\bar D Y}{dt}$ e $Y'=\frac{D Y}{dt}$.
Derivación a lo largo de curvas
La afirmación es local en $t$. Fijado $t_0\in I$, sea $V_1,\ldots,V_n$ una referencia local de campos tangentes a $M$ definida en un entorno de $\alpha(t_0)$ en $M$ (por ejemplo, los campos coordenados de $M$). Para $t$ cerca de $t_0$ escribimos $Y(t)=\sum_{i=1}^nf^i(t)\,V_i(\alpha(t))$, con $f^i$ diferenciables. Por las propiedades de la derivada covariante en $\bar M$ y en $M$, \[\dot Y=\sum_i\frac{df^i}{dt}V_i+\sum_if^i\,\bar\nabla_{\alpha'}V_i,\qquad Y'=\sum_i\frac{df^i}{dt}V_i+\sum_if^i\,\nabla_{\alpha'}V_i,\]
Derivación a lo largo de curvas
Aquí $\bar\nabla_{\alpha'(t)}V_i$ es la conexión inducida (que en cada punto solo depende de $\alpha'(t)\in T_{\alpha(t)}M$; observación 4.3). Por la fórmula de Gauss, $\bar\nabla_{\alpha'}V_i=\nabla_{\alpha'}V_i+\sigma(\alpha',V_i)$. Restando y usando la bilinealidad de $\sigma$, \[\dot Y-Y'=\sum_if^i\sigma(\alpha',V_i)=\sigma\Big(\alpha',\sum_if^iV_i\Big)=\sigma(\alpha',Y).\]
Derivación a lo largo de curvas
En otras palabras: $Y'=\tan\dot Y$ y $\sigma(\alpha',Y)=\nor\dot Y$. Tomando $Y=\alpha'$:
Si $\alpha$ es una curva en $M\subset \bar M$, entonces \[\ddot\alpha= \alpha''+\sigma(\alpha',\alpha').\]
Una curva $\alpha$ en $M\subset \bar M$ es una geodésica de $M$ si y solo si su aceleración en $\bar M$ es normal a $M$ en todo punto.
Por el corolario 8.2, $\tan\ddot\alpha=\alpha''$. Así, $\alpha''=0$ (geodésica de $M$) si y solo si $\ddot\alpha$ es normal.
Derivación a lo largo de curvas
Una geodésica de $M$ es una curva de $M$ que «no acelera dentro de $M$»: toda su aceleración en $\bar M$ se debe a que $M$ se curva, y vale $\ddot\alpha=\sigma(\alpha',\alpha')$. Por ejemplo, un coche que recorre a velocidad constante una geodésica de la superficie terrestre solo siente la aceleración vertical.
8.2
Sección 8.2
Los círculos máximos recorridos con velocidad constante.
Geodésicas de la esfera
Las geodésicas no constantes de la esfera $\S^n(r)$ son precisamente todos los círculos máximos de $\S^n(r)$ parametrizados con velocidad constante.
Recordemos que un círculo máximo es la intersección de $\S^n(r)$ con un plano vectorial (de dimensión 2) de $\R^{n+1}$, es decir, una circunferencia de radio $r$ centrada en el origen.
Geodésicas de la esfera
Paso 1: los círculos máximos, parametrizados con velocidad constante, son geodésicas. Sean $p\in\S^n(r)$ y $v\in T_p\S^n(r)$, $v\neq0$, y pongamos $c=|v|>0$. Como $\langle p,v\rangle=0$, la curva \[\beta(t)=\cos\Big(\frac{ct}{r}\Big)p+\frac rc\sin\Big(\frac{ct}{r}\Big)v,\qquad t\in\R,\] verifica $\langle\beta,\beta\rangle=r^2\cos^2+\frac{r^2}{c^2}c^2\sin^2=r^2$; recorre el círculo máximo $\S^n(r)\cap\operatorname{span}\{p,v\}$ con rapidez constante $|\beta'|=c$ y $\ddot\beta=-\frac{c^2}{r^2}\beta$, que es normal a la esfera. Por el corolario 8.3, $\beta$ es una geodésica con $\beta(0)=p$, $\beta'(0)=v$. Toda parametrización con velocidad constante de un círculo máximo es de esta forma para algunos $p$, $v$.
Geodésicas de la esfera
Paso 2: toda geodésica no constante es de esta forma. Si $\gamma$ es una geodésica con $\gamma(0)=p$, $\gamma'(0)=v\neq0$, por la unicidad de las geodésicas con condiciones iniciales dadas (apéndice A), $\gamma=\beta$ en su dominio común.
Geodésicas de la esfera
En rojo, un círculo máximo (geodésica). En azul, el paralelo $z=h$ de $\S^2$ recorrido con rapidez unidad:
Geodésicas de la esfera
La demostración muestra que las geodésicas de $\S^n(r)$ están definidas en todo $\R$: la esfera es geodésicamente completa. Además, por el corolario 8.2 y el ejemplo 6.4, para una geodésica de $\S^n(r)$ se tiene $\ddot\gamma=\sigma(\gamma',\gamma')=-\frac{\langle\gamma',\gamma'\rangle}{r^2}\gamma$, lo que da otra forma de obtener la ecuación diferencial del Paso 1.
Geodésicas de la esfera
Sea $0\lt h\lt 1$, $\rho=\sqrt{1-h^2}$ y $\alpha(t)=(\rho\cos(t/\rho),\rho\sin(t/\rho),h)$, el paralelo de altura $h$ de $\S^2$ recorrido con rapidez unidad. Entonces \[\ddot\alpha=-\frac1\rho(\cos(t/\rho),\sin(t/\rho),0),\qquad\sigma(\alpha',\alpha')=-\langle\alpha',\alpha'\rangle\alpha=-\alpha,\] \[\alpha''=\ddot\alpha-\sigma(\alpha',\alpha')=\Big(-\frac{h^2}{\rho}\cos(t/\rho),\ -\frac{h^2}{\rho}\sin(t/\rho),\ h\Big)\neq0.\] Así, el paralelo es geodésica si y solo si $h=0$ (el ecuador). La norma $|\alpha''|=h/\rho$ es la curvatura geodésica del paralelo.
8.3
Sección 8.3
Hélices del cilindro, hipérbolas del espacio hiperbólico.
Otros ejemplos
Sea $C$ el cilindro de radio $r$ de $\R^3$ y $a,b\in\R$ no ambos nulos. La hélice $\alpha(t)=(r\cos(at/r),\ r\sin(at/r),\ bt)$ tiene aceleración $\ddot\alpha=-\frac{a^2}{r}(\cos(at/r),\sin(at/r),0)$, que es normal al cilindro (es proporcional a $N$). Por el corolario 8.3, es una geodésica. Los casos $a=0$ (rectas verticales) y $b=0$ (circunferencias horizontales) también están incluidos. Como por cada punto y cada dirección pasa una de estas curvas, estas son todas las geodésicas del cilindro. Al «desenrollar» el cilindro sobre el plano (isometría local), las hélices se convierten en rectas.
Otros ejemplos
$\alpha(t)=(r\cos(at/r),\ r\sin(at/r),\ bt)$:
Su aceleración $\ddot\alpha$ es siempre horizontal y apunta al eje: es normal al cilindro.
Otros ejemplos
Sea $\H^n(r)\subset\R^{n+1}_1$. Si $p\in\H^n(r)$ y $v\in T_p\H^n(r)$ es unitario (espacial), la curva $\gamma(t)=\cosh(t/r)\,p+r\sinh(t/r)\,v$ está en $\H^n(r)$ (pues $\langle p,v\rangle=0$, $\langle p,p\rangle=-r^2$, $\langle v,v\rangle=1$) y $\ddot\gamma=\gamma/r^2$ es normal. Es, pues, una geodésica: una rama de hipérbola en el plano $\operatorname{span}\{p,v\}$. Este ejemplo se generalizará a todas las hipercuádricas en el Tema 13.
Para una curva $\alpha$ parametrizada por el arco en una superficie $M\subset\R^3$ con normal $N$, la descomposición $\ddot\alpha=\alpha''+\sigma(\alpha',\alpha')$ es la clásica: $\kappa_n=\langle\sigma(\alpha',\alpha'),N\rangle$ es la curvatura normal (depende solo de $\alpha'$: teorema de Meusnier) y $\alpha''=\kappa_g\,(N\times\alpha')$ define la curvatura geodésica $\kappa_g$. Así, $\kappa^2=\kappa_n^2+\kappa_g^2$, y las geodésicas son las curvas con $\kappa_g=0$.
Resumen
Ejercicios
8.1$^\star$ — Sea $M\subset\R^3$ la superficie de revolución $X(u,v)=(f(v)\cos u,f(v)\sin u,g(v))$, con $f>0$ y $f'^2+g'^2=1$. Prueba que los meridianos ($u=$ cte, parametrizados por $v$) son geodésicas y que el paralelo $v=v_0$ es geodésica (con rapidez constante) si y solo si $f'(v_0)=0$.
8.2$^\star$ — Prueba que si una curva $\alpha$ de $M$ es geodésica de $\bar M$, entonces es geodésica de $M$. Muestra con un ejemplo que el recíproco es falso.
8.3$^\star$ — Sea $\alpha$ una curva en $M$ e $Y\in{\mathfrak X}(\alpha)$ un campo normal a $M$. Prueba que $\tan\dot Y$ es ${\mathcal F}(I)$-lineal en $Y$ y que $\langle\tan\dot Y,W\rangle=-\langle\sigma(\alpha',W),Y\rangle$ para todo campo $W$ tangente a lo largo de $\alpha$.
Ejercicios
8.4$^\star$ — Sea $\gamma$ una geodésica de una subvariedad $M\subset\bar M$. Prueba que $\langle\gamma',\gamma'\rangle$ es constante. Si $M=\S^n(r)$, prueba que $\langle\ddot\gamma,\ddot\gamma\rangle=\langle\gamma',\gamma'\rangle^2/r^2$ es constante a lo largo de $\gamma$.
8.5$^\star$ — Prueba que el paralelo del ejemplo 8.6 tiene curvatura geodésica $\kappa_g=\pm h/\rho$ y curvatura normal $\kappa_n=-1$ (con $N=P$), y comprueba que $\kappa_g^2+\kappa_n^2=1/\rho^2$ es el cuadrado de la curvatura de una circunferencia de radio $\rho$.
Geometría de subvariedades · Tema 08
A lo largo de una curva: $\dot Y=Y'+\sigma(\alpha',Y)$, la fórmula de Gauss en versión curvas.
Geodésica de $M$ $\iff$ su aceleración en $\bar M$ es normal: $\ddot\alpha=\sigma(\alpha',\alpha')$.
Esfera: círculos máximos; cilindro: hélices; espacio hiperbólico: hipérbolas.
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