Geometría de subvariedades · Tema 09
Las subvariedades con segunda forma fundamental nula: las geodésicas del ambiente que salen tangentes a $M$ no se salen de $M$.
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Hoja de ruta
9.1
Sección 9.1
Cuatro formas equivalentes de decir $\sigma=0$.
Definición y caracterizaciones
Una subvariedad semi-riemanniana $M$ de $\bar M$ se dice totalmente geodésica si su tensor segunda forma fundamental es idénticamente nulo, $\sigma=0$.
Diremos que la geodésica $\gamma_v$ de $\bar M$ (con $\gamma_v'(0)=v$) está inicialmente en $M$ si existe $\epsilon>0$ tal que $\gamma_v(t)\in M$ para $|t|\lt\epsilon$.
Definición y caracterizaciones
Para $M\subset \bar M$, las siguientes condiciones son equivalentes:
Definición y caracterizaciones
(1)$\Rightarrow$(2). Si $\gamma$ es geodésica de $M$, por el corolario 8.2, $\ddot\gamma=\gamma''+\sigma(\gamma',\gamma')=0+0=0$, luego $\gamma$ es geodésica de $\bar M$.
(2)$\Rightarrow$(3). Sea $v\in T_pM$ y $\gamma$ la geodésica de $M$ con $\gamma'(0)=v$, definida en $(-\epsilon,\epsilon)$. Por (2) es una geodésica de $\bar M$ con velocidad inicial $v$ y, por la unicidad de las geodésicas, $\gamma_v=\gamma$ en $(-\epsilon,\epsilon)$. Luego $\gamma_v(t)\in M$ para $|t|\lt\epsilon$.
(3)$\Rightarrow$(1). Sea $v\in T_pM$. Por (3), $\gamma_v$ está en $M$ para $|t|\lt\epsilon$; por la proposición 0.7, $\gamma_v|_{(-\epsilon,\epsilon)}$ es una curva diferenciable de $M$. Su aceleración en $\bar M$ es nula, así que por el corolario 8.2, $0=\ddot\gamma_v=\gamma_v''+\sigma(\gamma_v',\gamma_v')$. Tomando la parte normal en $t=0$, $\sigma(v,v)=0$. Esto vale para todo $v\in T_pM$ y, como $\sigma_p$ es bilineal y simétrica, por polarización \[\sigma(v,w)=\tfrac12\big(\sigma(v+w,v+w)-\sigma(v,v)-\sigma(w,w)\big)=0\qquad\text{para todos } v,w\in T_pM.\]
Definición y caracterizaciones
(1)$\Rightarrow$(4). Sea $Y$ el transporte paralelo de $v$ a lo largo de $\alpha$ en $M$, es decir, $Y$ tangente con $Y'=0$ e $Y(0)=v$. Por la proposición 8.1, $\dot Y=Y'+\sigma(\alpha',Y)=0$, luego $Y$ es también paralelo en $\bar M$, con el mismo valor inicial. Por la unicidad del transporte paralelo en $\bar M$, $Y$ es el transporte paralelo de $v$ en $\bar M$.
(4)$\Rightarrow$(1). Sean $v,w\in T_pM$ y $\alpha$ una curva de $M$ con $\alpha(0)=p$, $\alpha'(0)=w$. Sea $Y$ el transporte paralelo de $v$ a lo largo de $\alpha$ en $M$. Por (4), $Y$ es paralelo también en $\bar M$, y la proposición 8.1 da $0=\dot Y=Y'+\sigma(\alpha',Y)=\sigma(\alpha',Y)$. En $t=0$: $\sigma(w,v)=0$.
Definición y caracterizaciones
Totalmente geodésica $\iff$ «las geodésicas de $\bar M$ que salen tangentes a $M$ no se salen de $M$». Es la generalización de los planos del espacio euclídeo. Por la ecuación de Gauss, una subvariedad totalmente geodésica tiene la misma curvatura seccional que el ambiente sobre sus planos tangentes: $K(v,w)=\bar K(v,w)$. Además, es minimal ($H=0$).
Definición y caracterizaciones
9.2
Sección 9.2
Subespacios, esferas máximas, subespacios hiperbólicos y puntos fijos.
Ejemplos
Sea $W\subset\R^n_\nu$ un subespacio vectorial no degenerado y $M=p_0+W$. Entonces $M$ es una subvariedad semi-riemanniana con $T_pM=W$ (constante), y es totalmente geodésica: las geodésicas de $\R^n_\nu$ son las rectas $\gamma_v(t)=p+tv$, y si $p\in M$, $v\in W$, la recta está entera en $M$ (condición (3)). También se ve directamente: si $V,W'$ son campos tangentes a $M$, sus componentes toman valores en $W$ y $D_VW'$, derivada de las componentes, también.
Ejemplos
Sea $W\subset\R^{n+1}$ un subespacio de dimensión $k+1$ ($1\leq k\lt n$) y $M=\S^n(r)\cap W$, que es una esfera $\S^k(r)$ de radio $r$ (esfera máxima). Si $p\in M$ y $v\in T_pM\subset W$, la geodésica $\gamma_v$ de $\S^n(r)$ es el círculo máximo en el plano $\operatorname{span}\{p,v\}\subset W$ (corolario 8.4), luego está contenida en $M$. Por la proposición 9.2, $M$ es totalmente geodésica en $\S^n(r)$. En particular $K_M=1/r^2$. En cambio, las esferas menores $\S^n(r)\cap(p_0+W)$ con $p_0\notin W$ no son totalmente geodésicas (ejemplo 8.6).
Ejemplos
Sea $W\subset\R^{n+1}_1$ un subespacio lorentziano de dimensión $k+1$ y $M=\H^n(r)\cap W$ (que es un $\H^k(r)$ en el espacio de Minkowski $W$). Si $p\in M$ y $v\in T_pM$ es unitario, la geodésica de $\H^n(r)$ con velocidad inicial $v$ es $\gamma(t)=\cosh(t/r)p+r\sinh(t/r)v$ (ejemplo 8.8), contenida en $\operatorname{span}\{p,v\}\subset W$. Así $M$ es totalmente geodésica en $\H^n(r)$.
Sea $\phi:\bar M\rightarrow\bar M$ una isometría y $M=\{p:\phi(p)=p\}$. Si $M$ es una subvariedad semi-riemanniana con $T_pM=\{v\in T_p\bar M:d\phi_p(v)=v\}$, entonces es totalmente geodésica (ejercicio 9.1). Por ejemplo, la reflexión $(x^1,\ldots,x^{n+1})\mapsto(x^1,\ldots,x^k,-x^{k+1},\ldots,-x^{n+1})$ restringida a $\S^n$ tiene como puntos fijos la esfera máxima $\S^n\cap\{x^{k+1}=\cdots=x^{n+1}=0\}$.
Ejemplos
En general, una variedad semi-riemanniana no tiene subvariedades totalmente geodésicas de dimensión $\geq2$ (la condición $\sigma=0$ impone muchas ecuaciones). Los espacios de curvatura constante son excepcionales: por cada punto y cada subespacio no degenerado $W$ de dimensión $k$ de su espacio tangente pasa una subvariedad totalmente geodésica (localmente única) con espacio tangente $W$, como muestran los ejemplos anteriores.
Resumen
Ejercicios
9.1$^\star$ — Sea $\phi$ una isometría de $\bar M$ y $M$ su conjunto de puntos fijos. Supongamos que $M$ es una subvariedad semi-riemanniana y que $T_pM=\{v:d\phi_p(v)=v\}$ para todo $p\in M$. Prueba que $M$ es totalmente geodésica.
9.2$^\star$ — Prueba que la diagonal $\Delta=\{(p,p):p\in\bar M\}$ es una subvariedad totalmente geodésica de $\bar M\times\bar M$.
9.3$^\star$ — Prueba que el grafo de una aplicación diferenciable $f:\R^n\rightarrow\R^k$ es totalmente geodésico en $\R^{n+k}$ si y solo si $f$ es afín.
Ejercicios
9.4$^\star$ — Sea $M\subset\bar M$ totalmente geodésica. Prueba que para $V,W,X\in{\mathfrak X}(M)$ se tiene $R(V,W)X=\bar R(V,W)X$ (en particular, $\bar R(V,W)X$ es tangente a $M$). Sugerencia: en la demostración de la ecuación de Gauss, calcula $\bar\nabla_V\bar\nabla_WX$ cuando $\sigma=0$.
9.5$^\star$ — Prueba que una subvariedad conexa y totalmente geodésica $M^k$ de $\S^n(r)$ es un abierto de una esfera máxima. Sugerencia: prueba que el subespacio $W_p=\operatorname{span}\{p\}\oplus T_pM$ de $\R^{n+1}$ no depende de $p$, derivando campos tangentes con la fórmula de Gauss de $M\subset\R^{n+1}$ (proposición 7.10).
Geometría de subvariedades · Tema 09
Totalmente geodésica: $\sigma=0$, la generalización de los planos.
Las geodésicas del ambiente tangentes a $M$ no se salen de $M$, y el transporte paralelo es el mismo.
En curvatura constante hay muchas; en general, casi ninguna.
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