Geometría de subvariedades · Tema 10
Los puntos en los que $M$ «se curva igual en todas las direcciones»: $\sigma(v,w)=\langle v,w\rangle z$, con $z$ necesariamente igual a la curvatura media.
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Hoja de ruta
10.1
Sección 10.1
$\sigma$ proporcional a la métrica en un punto.
Puntos umbilicales
Un punto $p$ de $M\subset \bar M$ se dice umbilical si existe un vector normal $z\in T_pM^\perp$ tal que \[\sigma(v,w)=\g{v}{w} z,\] para todos $v,w\in T_pM$. En este caso, $z$ se llama el vector curvatura normal de $M$ en $p$.
Por polarización, basta comprobar la condición en la diagonal: $p$ es umbilical si y solo si existe $z$ con $\sigma(v,v)=\langle v,v\rangle z$ para todo $v\in T_pM$. Si $\dim M=1$, todos los puntos son umbilicales (con $z=\varepsilon\,\sigma(e,e)$ para $e$ unitario): la noción solo es interesante para $\dim M\geq2$.
Puntos umbilicales
Si $p$ es un punto umbilical de $M$, su vector curvatura normal es $z=H_p$. Por tanto, $p$ es umbilical si y solo si \[\sigma(v,w)=\langle v,w\rangle H_p\qquad\text{para todos } v,w\in T_pM,\] es decir, si y solo si se anula en $p$ la parte sin traza de la segunda forma fundamental, $\mathring\sigma(v,w)=\sigma(v,w)-\langle v,w\rangle H$.
Puntos umbilicales
Sea $e_1,\ldots,e_n$ una base ortonormal de $T_pM$ con $\varepsilon_i=\langle e_i,e_i\rangle$. Si $\sigma(v,w)=\langle v,w\rangle z$, \[H_p=\frac1n\sum_i\varepsilon_i\,\sigma(e_i,e_i)=\frac1n\sum_i\varepsilon_i\,\varepsilon_i\,z=z.\] Recíprocamente, si $\sigma(v,w)=\langle v,w\rangle H_p$, $p$ es umbilical con $z=H_p$ por definición.
10.2
Sección 10.2
Todos los puntos umbilicales: $\sigma(V,W)=\langle V,W\rangle Z$.
Subvariedades totalmente umbilicales
Una subvariedad semi-riemanniana $M$ de $\bar M$ se dice totalmente umbilical si todos sus puntos son umbilicales. En tal caso, existe un campo normal $Z\in{\mathfrak X}(M)^{\perp}$ tal que \[\sigma(V,W)=\g{V}{W}Z,\] para todo par de campos $V, W$ tangentes a $M$, que llamamos campo curvatura normal.
Por la proposición 10.2, el campo curvatura normal es $Z=H$, que es diferenciable (Tema 7); esto justifica la existencia de $Z$ en la definición.
Subvariedades totalmente umbilicales
Subvariedades totalmente umbilicales
En el guion del curso aparece $Z=\varepsilon N/r$ para la esfera y el espacio hiperbólico. Con $N=P/r$ (normal exterior) el signo correcto es $Z=-\varepsilon N/r$, como se acaba de comprobar y como afirma el propio guion en el Lema 4.27 de O'Neill (Tema 12): para la esfera unidad, $Z=-P$ apunta hacia el centro. La fórmula $Z=\varepsilon N/r$ es correcta si se toma el normal interior $N=-P/r$. Obsérvese que $Z=H$ no depende de la elección del normal.
Subvariedades totalmente umbilicales
Si $M\subset\bar M$ es totalmente umbilical con campo curvatura normal $Z$, entonces para todo plano no degenerado $\operatorname{span}\{v,w\}\subset T_pM$, \[K(v,w)=\bar K(v,w)+\langle Z,Z\rangle(p).\]
Por el corolario 5.3, con $\sigma(x,y)=\langle x,y\rangle Z$: \[K(v,w)-\bar K(v,w)=\frac{\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle\langle Z,Z\rangle-\langle v,w\rangle^2\langle Z,Z\rangle}{\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle-\langle v,w\rangle^2}=\langle Z,Z\rangle.\]
Por ejemplo, para $\S^n(r)$, $\langle Z,Z\rangle=\frac{1}{r^2}\langle N,N\rangle=\frac{1}{r^2}$, y para $\H^n(r)$, $\langle Z,Z\rangle=\frac{1}{r^2}\langle N,N\rangle=-\frac{1}{r^2}$, de acuerdo con el Tema 6.
Subvariedades totalmente umbilicales
Sea $0\lt|a|\lt1$, $\rho=\sqrt{1-a^2}$ y $M=\S^n\cap\{x^{n+1}=a\}$, una esfera de dimensión $n-1$ y radio $\rho$ centrada en $c=a\,e_{n+1}$ dentro del hiperplano $\{x^{n+1}=a\}$. Como subvariedad de $\R^{n+1}$ (codimensión 2), $M$ es una esfera de radio $\rho$ en un subespacio afín, luego (ejercicio 7.5) $\sigma^{\R^{n+1}}(V,W)=-\frac{1}{\rho^2}\langle V,W\rangle(P-c)$. Por la proposición 7.10 aplicada a $M\subset\S^n\subset\R^{n+1}$, con $\tilde\sigma(V,W)=-\langle V,W\rangle P$, \[\sigma^{\S^n}(V,W)=\sigma^{\R^{n+1}}(V,W)+\langle V,W\rangle P=\langle V,W\rangle\Big(P-\frac{P-c}{\rho^2}\Big).\]
Subvariedades totalmente umbilicales
Así $M$ es totalmente umbilical en $\S^n$ con $Z=P-\frac{1}{\rho^2}(P-c)$. Se comprueba que $\langle Z,P\rangle=0$ (pues $\langle P-c,P\rangle=1-a^2=\rho^2$) y $\langle Z,Z\rangle=\frac{a^2}{\rho^2}$. Por tanto $Z=0$ si y solo si $a=0$ (esfera máxima). Por el corolario 10.5, $K_M=1+\frac{a^2}{\rho^2}=\frac{1}{\rho^2}$, como debe ser para una esfera de radio $\rho$.
Subvariedades totalmente umbilicales
Para una superficie $M\subset\R^3$ con normal $N$, $\sigma=\II\,N$ y $p$ es umbilical si y solo si $\II_p$ es proporcional a la primera forma fundamental, es decir, si las dos curvaturas principales (valores propios del operador forma, Tema 11) coinciden. El plano y la esfera son totalmente umbilicales. El cilindro no tiene puntos umbilicales ($\sigma(e_1,e_1)=-\frac1rN\neq0=\sigma(e_2,e_2)$). Un elipsoide con tres semiejes distintos $a>b>c$ tiene exactamente cuatro puntos umbilicales: \[\Big(\pm a\sqrt{\tfrac{a^2-b^2}{a^2-c^2}},\ 0,\ \pm c\sqrt{\tfrac{b^2-c^2}{a^2-c^2}}\Big).\]
Subvariedades totalmente umbilicales
Elipsoide $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+z^2=1$ ($a=3$, $b=2$, $c=1$).
El color mide la diferencia relativa $|k_1-k_2|/|k_1+k_2|$ de las curvaturas principales: se anula (blanco) exactamente en los cuatro puntos umbilicales (en rojo), que están en el plano de los semiejes mayor y menor.
Subvariedades totalmente umbilicales
En un punto umbilical, $\sigma(v,v)=\langle v,v\rangle H$: la subvariedad «se dobla igual» en todas las direcciones tangentes, como una esfera. Totalmente geodésica ($\sigma=0$) $\subset$ totalmente umbilical ($\sigma=\langle\cdot,\cdot\rangle H$). En el Tema 15 clasificaremos las hipersuperficies totalmente umbilicales de $\R^n_\nu$.
Resumen
Ejercicios
10.1$^\star$ — Prueba que $\mathring\sigma=\sigma-\langle\cdot,\cdot\rangle H$ es simétrica, ${\mathcal F}(M)$-bilineal y de traza nula, y que $\langle\sigma,\sigma\rangle=\langle\mathring\sigma,\mathring\sigma\rangle+n\langle H,H\rangle$, donde $\langle\sigma,\sigma\rangle=\sum_{i,j}\varepsilon_i\varepsilon_j\langle\sigma(E_i,E_j),\sigma(E_i,E_j)\rangle$.
10.2$^\star$ — Prueba que el único punto umbilical del paraboloide $z=\frac12(x^2+y^2)$ es el origen.
10.3$^\star$ — Sea $M\subset\bar M$ totalmente umbilical y $\gamma$ una geodésica de $M$ con $\langle\gamma',\gamma'\rangle=\pm1$. Prueba que $\ddot\gamma=\pm Z$ a lo largo de $\gamma$. Interpreta el resultado en la esfera.
Ejercicios
10.4$^\star$ — Comprueba que los puntos indicados en el ejemplo 10.7 son umbilicales. Sugerencia: usa la fórmula del ejercicio 11.1 para el operador forma de un conjunto de nivel.
10.5$^\star$ — Sea $M\subset\R^{n+1}_1$ la horoesfera $M=\{p\in\H^n(1):\langle p,\ell\rangle=-1\}$, donde $\ell$ es un vector nulo fijo con $\ell^1>0$ y consideramos la hoja superior de $\H^n(1)$. Prueba que $M$ es una hipersuperficie totalmente umbilical de $\H^n(1)$ con $\langle Z,Z\rangle=1$ y deduce que $M$ es llana.
Geometría de subvariedades · Tema 10
Un punto es umbilical si $\sigma(v,w)=\langle v,w\rangle z$: se curva igual en todas las direcciones.
El vector curvatura normal es la curvatura media: $z=H_p$.
Totalmente umbilical $\Rightarrow$ $K=\bar K+\langle Z,Z\rangle$: esferas, espacios hiperbólicos, esferas menores.
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