Geometría de subvariedades · Tema 11
En codimensión 1 toda la información extrínseca cabe en un endomorfismo autoadjunto: el operador forma $S=-\bar\nabla N$.
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Hoja de ruta
11.1
Sección 11.1
Signo, conjuntos de nivel y la banda de Möbius.
Hipersuperficies y normales unitarios
Una hipersuperficie semi-riemanniana $M$ de $\bar M$ es una subvariedad semi-riemanniana de codimensión 1. Se define el signo $\varepsilon$ de $M$ como
Como $T_pM^\perp$ es una recta no degenerada, en un entorno de cada punto existe un campo normal unitario $N$ (proposición 3.7), único salvo el signo, con $\langle N,N\rangle=\varepsilon$, y \[\nor X=\varepsilon\langle X,N\rangle N,\qquad\sigma(V,W)=\varepsilon\langle\sigma(V,W),N\rangle N.\]
Hipersuperficies y normales unitarios
Por el corolario 1.12, $\ind M=\ind\bar M$ si $\varepsilon=1$ e $\ind M=\ind\bar M-1$ si $\varepsilon=-1$. En una variedad lorentziana, las hipersuperficies de signo $-1$ son riemannianas (espaciales) y las de signo $+1$ son lorentzianas (temporales).
Hipersuperficies y normales unitarios
Si $f:(\bar M,g)\rightarrow \R$ es una función diferenciable, entonces $\nabla f$ (el gradiente) es el campo métricamente equivalente a $df$. De esta forma, estará determinado por \[df(v)=\g{\nabla f}{v},\qquad\text{para todo vector tangente } v.\] Denotaremos $|\nabla f|=|\langle\nabla f,\nabla f\rangle|^{1/2}$. Por ejemplo, en $\R^n_\nu$, $\nabla f=\sum_i\varepsilon_i\frac{\partial f}{\partial x^i}\partial_i$.
Hipersuperficies y normales unitarios
Sea $c\in\R$ un valor de $f\in{\mathcal F}(\bar M)$ y $M=f^{-1}(c)$.
Hipersuperficies y normales unitarios
\[T_pM=\ker df_p=\{v:\langle\nabla f_p,v\rangle=0\}=(\operatorname{span}\{\nabla f_p\})^\perp.\] La recta $\operatorname{span}\{\nabla f_p\}$ es no degenerada, luego por el lema 1.9 su ortogonal $T_pM$ también lo es y, por el lema 1.7, $T_pM^\perp=\operatorname{span}\{\nabla f_p\}$. El coíndice es 0 o 1 según el signo de $\langle\nabla f,\nabla f\rangle$, que es constante en $M$; en consecuencia el índice de $M$ es constante y $M$ es hipersuperficie semi-riemanniana con signo el de $\langle\nabla f,\nabla f\rangle$. Finalmente $N=\nabla f/|\nabla f|$ es diferenciable, normal y verifica $\langle N,N\rangle=\langle\nabla f,\nabla f\rangle/|\langle\nabla f,\nabla f\rangle|=\pm1$.
Hipersuperficies y normales unitarios
Si $c$ es regular, $T_pM=\ker df_p=(\operatorname{span}\{\nabla f_p\})^\perp$ con $\nabla f_p\neq0$. Si $T_pM$ es no degenerado, también lo es $\operatorname{span}\{\nabla f_p\}$ (lema 1.9), es decir, $\langle\nabla f_p,\nabla f_p\rangle\neq0$, y como $\nabla f_p$ genera el espacio normal, su signo es el de $M$.
Hipersuperficies y normales unitarios
En el guion, la O'Neill 4.17 se enuncia como equivalencia: «$M=f^{-1}(c)$ es una hipersuperficie semi-riemanniana de $\bar M$ si y solo si $\g{\nabla f}{\nabla f}$ es positivo o negativo sobre todo $M$». La implicación recíproca requiere que $c$ sea un valor regular: para $f(x,y)=x^2$ en $\R^2$ y $c=0$, el conjunto $M=f^{-1}(0)=\{x=0\}$ es una hipersuperficie (riemanniana), pero $\nabla f=(2x,0)$ se anula en todo $M$.
Hipersuperficies y normales unitarios
En $\R^{n+1}$, $f(x)=\langle x,x\rangle$ tiene $\nabla f=2P$ y $\langle\nabla f,\nabla f\rangle=4\langle P,P\rangle>0$ fuera del origen: $\S^n(r)$ tiene normal $N=P/r$. Para el cilindro $f=x^2+y^2$ en $\R^3$, $\nabla f=(2x,2y,0)$ y $N=(x,y,0)$ en $f^{-1}(1)$.
En $\R^3_1$ sea $f(x)=\langle x,x\rangle=-(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2$. Ahora $\nabla f=2P$ (pues $\nabla f=\sum\varepsilon_i\partial_if\,\partial_i$ y $\partial_if=2\varepsilon_ix^i$), y en $M=f^{-1}(1)$ (hiperboloide de una hoja) $\langle\nabla f,\nabla f\rangle=4>0$. Así $M$ es una hipersuperficie de signo $+1$ e índice 1: una superficie lorentziana, con normal $N=P$. En cambio $f^{-1}(-1)$ (hiperboloide de dos hojas) tiene signo $-1$ y es riemanniana. Volveremos a ellas en el Tema 12.
Hipersuperficies y normales unitarios
Observemos que no todas las hipersuperficies semi-riemannianas se pueden obtener de este modo (como hipersuperficies de nivel), pues hay algunas que no admiten un campo normal unitario global, como por ejemplo la banda de Möbius en $\R^3$.
El normal unitario $N(u)$ a lo largo de la línea central (en rojo) es continuo en $u\in[0,2\pi]$, pero $N(2\pi)=-N(0)$ (en gris).
Banda de Möbius $X(u,v)=\big((1+v\cos\tfrac u2)\cos u,\ (1+v\cos\tfrac u2)\sin u,\ v\sin\tfrac u2\big)$, con $N(u)=\big(\cos u\sin\tfrac u2,\ \sin u\sin\tfrac u2,\ -\cos\tfrac u2\big)$ a lo largo de la línea central.
11.2
Sección 11.2
$S=-\bar\nabla N$: autoadjunto y con toda la información extrínseca.
El operador forma
Sea $N$ un campo normal unitario a una hipersuperficie semi-riemanniana $M\subset \bar M$. El campo tensorial de tipo $(1,1)$ en $M$, denotado por $S$, determinado por \[\g{S(V)}{W}=\g{\sigma(V,W)}14,\quad \text{para todo $V,W\in{\mathfrak X}(M)$}\] recibe el nombre de operador forma de $M\subset\bar M$ (asociado a $N$).
$S$ está bien definido: para cada $V$, la aplicación $W\mapsto\langle\sigma(V,W),N\rangle$ es una 1-forma en $M$ y, por la no degeneración de la métrica inducida, es de la forma $\langle S(V),\cdot\rangle$ para un único campo $S(V)$; la ${\mathcal F}(M)$-linealidad de $\sigma$ implica la de $S$. Debido a sus propiedades tensoriales, $S$ determina un operador lineal $S:T_pM\rightarrow T_pM$ en cada punto $p\in M$. Con él, \[\sigma(V,W)=\varepsilon\,\langle S(V),W\rangle\,N.\]
El operador forma
Si $S$ es el operador forma asociado a $N$, entonces $$S(V)=-\bar\nabla_VN$$ y el operador lineal $S$ es autoadjunto, es decir, $\g{S(V)}{W}=\g{V}{S(W)}$.
El operador forma
Como $\langle N,N\rangle=\varepsilon$ es constante, $0=V\langle N,N\rangle=2\langle\bar\nabla_VN,N\rangle$, luego $\bar\nabla_VN$ es tangente a $M$. Para $W\in{\mathfrak X}(M)$, derivando $\langle W,N\rangle=0$, \[\langle S(V),W\rangle=\langle\sigma(V,W),N\rangle=\langle\bar\nabla_VW,N\rangle=-\langle W,\bar\nabla_VN\rangle=\langle-\bar\nabla_VN,W\rangle,\] donde en la segunda igualdad hemos usado que $\nabla_VW$ es ortogonal a $N$. Como ambos $S(V)$ y $-\bar\nabla_VN$ son tangentes, la no degeneración de la métrica de $M$ da $S(V)=-\bar\nabla_VN$. La autoadjunción es consecuencia de la simetría de $\sigma$: $\langle S(V),W\rangle=\langle\sigma(V,W),N\rangle=\langle\sigma(W,V),N\rangle=\langle S(W),V\rangle$.
El operador forma
Para $\S^n(r)$ con $N=P/r$: $S(V)=-D_V(P/r)=-\frac1rV$, es decir, $S=-\frac1rI$. Para el cilindro de radio $r$ en $\R^3$ con $N=(x,y,0)/r$ y la referencia $e_1=\partial_\theta/r$, $e_2=\partial_z$: $S(e_1)=-\frac1re_1$, $S(e_2)=0$.
El operador forma
Sea $S$ el operador forma de una hipersuperficie semi-riemanniana $M\subset \bar M$. Si $v,w$ generan un plano tangente a $M$ no degenerado, entonces \[K(v,w)=\bar K(v,w)+\varepsilon \frac{\g{Sv}{v}\g{Sw}{w}-\g{Sv}{w}^2}{g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^2},\] donde $\varepsilon$ es el signo de $M\subset \bar M$.
Con $\sigma(x,y)=\varepsilon\langle Sx,y\rangle N$ y $\langle N,N\rangle=\varepsilon$ (y $\varepsilon^3=\varepsilon$): $\langle\sigma(v,v),\sigma(w,w)\rangle=\varepsilon\langle Sv,v\rangle\langle Sw,w\rangle$ y $\langle\sigma(v,w),\sigma(v,w)\rangle=\varepsilon\langle Sv,w\rangle^2$. Se sustituye en el corolario 5.3.
El operador forma
Una hipersuperficie semi-riemanniana $M\subset \bar M$ es totalmente umbilical si y solo si su operador forma es un múltiplo de la identidad en cada punto, es decir, $S=\lambda I$.
Si $S=\lambda I$, entonces $\sigma(V,W)=\varepsilon\lambda\langle V,W\rangle N$, luego $M$ es totalmente umbilical con $Z=\varepsilon\lambda N$. Recíprocamente, si $\sigma(V,W)=\langle V,W\rangle Z$, entonces $\langle S(V),W\rangle=\langle\sigma(V,W),N\rangle=\langle Z,N\rangle\langle V,W\rangle$ para todo $W$, luego $S=\langle Z,N\rangle I$.
Cuando la hipersuperficie semi-riemanniana sea totalmente umbilical, diremos que la función $\lambda$ es la función curvatura normal de $M\subset \bar M$. Con la notación del Tema 10, $Z=\varepsilon\lambda N$ y $\lambda=\langle Z,N\rangle$.
El operador forma
Si $S_p$ es diagonalizable (lo que ocurre siempre que $M$ es riemanniana, por ser $S_p$ autoadjunto respecto de un producto interior), sus valores propios $k_1,\ldots,k_n$ se llaman curvaturas principales de $M$ en $p$ y sus vectores propios, direcciones principales. La función $\det S$ se llama curvatura de Gauss–Kronecker.
El operador forma
Si $M$ no es riemanniana, $S_p$ puede no ser diagonalizable (ejercicio 1.4): en una superficie lorentziana de $\R^3_1$ el operador forma puede tener valores propios complejos o ser un bloque de Jordan. Los resultados de este tema que usan curvaturas principales se enuncian, por ello, para hipersuperficies espaciales (riemannianas).
Para $M^2\subset\R^3$ ($\varepsilon=1$, $\bar K=0$), el corolario 11.8 con una base ortonormal de direcciones principales da la fórmula clásica $K=k_1k_2=\det S$, y $\langle H,N\rangle=\frac12(k_1+k_2)=\frac12\tr S$ (ejercicio 11.2).
El operador forma
En codimensión 1 toda la información extrínseca está en el endomorfismo autoadjunto $S=-\bar\nabla N$: $\sigma=\varepsilon\langle S\cdot,\cdot\rangle N$, $H=\frac{\varepsilon}{n}(\tr S)N$, umbilical $\iff$ $S=\lambda I$, y \[K(v,w)=\bar K(v,w)+\varepsilon\,\frac{\det(\text{de }\II\text{ en } v,w)}{Q(v,w)}.\]
Resumen
Ejercicios
11.1 — Sea $S$ el operador forma asociado al normal unitario $N=\nabla f/|\nabla f|$ en una hipersuperficie semi-riemanniana de nivel $M=f^{-1}(c)$ de $\bar M$.
Ejercicios
11.2 — Sea $M$ una hipersuperficie espacial de signo $\varepsilon$ en $\bar M$ (riemanniana o lorentziana). Sean $S$ el operador forma asociado a un campo normal unitario $N$ y $k_1,\ldots,k_n$ los valores propios de $S$. Prueba:
11.3 — Prueba que la curvatura de Ricci de una hipersuperficie $M\subset \R^{n+1}_\nu$ está dada por \[{\rm Ric}\,(V,W)=\varepsilon(\g{S(V)}{W} {\rm tr}(S)-\g{S(V)}{S(W)}).\]
Ejercicios
11.4$^\star$ — Prueba que la banda de Möbius de la figura no admite ningún campo normal unitario continuo.
11.5$^\star$ — Sea $M\subset\R^3$ la superficie de revolución $X(u,v)=(f(v)\cos u,f(v)\sin u,g(v))$ con $f>0$ y $f'^2+g'^2=1$. Prueba que $X_u$ y $X_v$ son direcciones principales, con curvaturas principales $k_1=\frac{g'}{f}$ y $k_2=f'g''-f''g'$ (respecto de un normal adecuado), y que $K=-\frac{f''}{f}$.
11.6$^\star$ — Sea $M\subset\bar M$ una hipersuperficie y $\gamma$ una geodésica de $M$. Prueba que $\gamma$ es geodésica de $\bar M$ si y solo si $\langle S\gamma',\gamma'\rangle=0$ a lo largo de $\gamma$.
Geometría de subvariedades · Tema 11
En codimensión 1, el signo $\varepsilon=\langle N,N\rangle$ y un normal unitario (si existe globalmente).
El operador forma $S=-\bar\nabla N$ es autoadjunto y contiene toda la información extrínseca.
Gauss con $S$, umbilicidad $\iff$ $S=\lambda I$, curvaturas principales.
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