Geometría de subvariedades · Tema 12
Las hipercuádricas centrales de $\R^{n+1}_\nu$: pseudo-esferas $\S^n_\nu(r)$ y espacios pseudo-hiperbólicos $\H^n_\nu(r)$. Todas se comportan como la esfera.
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Hoja de ruta
Denotamos por $\R^{n+1}_{\nu}$ a $\R^{n+1}$ con la métrica $$\g{v}{w}_\nu=-\sum_{i=1}^\nu v^iw^i+\sum_{j=\nu+1}^{n+1} v^jw^j,$$ donde $v=(v^1,\ldots,v^{n+1})$ y $w=(w^1,\ldots,w^{n+1})$. En lo que sigue, denotaremos $q(v)=\g{v}{v}_\nu$, y $P$ es el campo de posición, $P_p=p$.
12.1
Sección 12.1
Pseudo-esferas, espacios pseudo-hiperbólicos y el cono nulo.
Hipercuádricas centrales
El subconjunto de $\R^{n+1}_\nu$ determinado por la ecuación $\g{p}{p}_\nu=\varepsilon r^2$ para cada $r>0$ y $\varepsilon=\pm1$ es una hipersuperficie semi-riemanniana de $\R^{n+1}_\nu$ con normal unitario $N=P/r$ y signo $\varepsilon$.
Sea $Q=q^{-1}(\varepsilon r^2)$. Para $v\in T_p\R^{n+1}_\nu\cong\R^{n+1}_\nu$, $dq_p(v)=2\langle p,v\rangle$, luego $\nabla q=2P$ y $\langle\nabla q,\nabla q\rangle=4q=4\varepsilon r^2$ en $Q$, que tiene signo constante $\varepsilon$ y no se anula. Por la proposición 11.2, $Q$ es una hipersuperficie semi-riemanniana de signo $\varepsilon$ con normal unitario $N=\nabla q/|\nabla q|=2P/(2r)=P/r$.
Hipercuádricas centrales
Sean $n\geq 2$ y $0\leq \nu\leq n$. Entonces
Observemos que la pseudo-esfera $\S_\nu^n(r)$ tiene signo $+1$ e índice $\nu$ en $\R^{n+1}_{\nu}$, mientras que el espacio pseudo-hiperbólico $\H_\nu^n(r)$ tiene signo $-1$ e índice $\nu$ en $\R^{n+1}_{\nu+1}$. En efecto, por el corolario 1.12, $\ind\R^{n+1}_\nu=\ind\S^n_\nu(r)+0$ e $\ind\R^{n+1}_{\nu+1}=\ind\H^n_\nu(r)+1$.
Hipercuádricas centrales
| Hipercuádrica | Ambiente | Índice | Nombre usual |
|---|---|---|---|
| $\S^n_0(r)=\S^n(r)$ | $\R^{n+1}$ | $0$ | esfera (riemanniana) |
| $\H^n_0(r)=\H^n(r)$ | $\R^{n+1}_1$ | $0$ | espacio hiperbólico (dos hojas) |
| $\S^n_1(r)$ | $\R^{n+1}_1$ | $1$ | espacio de de Sitter (lorentziano) |
| $\H^n_1(r)$ | $\R^{n+1}_2$ | $1$ | espacio anti-de Sitter (lorentziano) |
| $\S^n_n(r)$ | $\R^{n+1}_n$ | $n$ | (métrica definida negativa) |
Hipercuádricas centrales
Las anti-isometrías $\tau$ del lema 12.4 llevan $\S^2_1\rightarrow\H^2_1$ y $\S^2_2\rightarrow\H^2_0$ (superficies del mismo color).
Hipercuádricas centrales
El caso «$r=0$» es el cono nulo $\Lambda=\{p\neq0:\ q(p)=0\}$ de $\R^{n+1}_\nu$ ($1\leq\nu\leq n$). Es una hipersuperficie invariante por homotecias, difeomorfa a $(\R^\nu\setminus\{0\})\times\S^{n-\nu}$, y el campo de posición $P$ es a la vez tangente y normal a $\Lambda$: por tanto $\Lambda$ no es semi-riemanniana (O'Neill 4.22; véase el ejemplo 2.8).
12.2
Sección 12.2
De los pseudo-hiperbólicos a las pseudo-esferas.
Anti-isometrías y topología
El siguiente lema nos permitirá reducir el estudio de los espacios pseudo-hiperbólicos al de las pseudo-esferas. Una anti-isometría entre variedades semi-riemannianas es un difeomorfismo $\phi$ con $\langle d\phi\,v,d\phi\,w\rangle=-\langle v,w\rangle$.
La aplicación $\tau:\R^{n+1}_\nu\rightarrow \R^{n+1}_{n-\nu+1}$ dada por \[\tau(p_1,\ldots,p_{n+1})=(p_{\nu+1},\ldots,p_{n+1},p_1,\ldots,p_\nu),\] es una anti-isometría que lleva $\S^n_\nu(r)$ a $\H^n_{n-\nu}(r).$
Anti-isometrías y topología
En O'Neill y en el guion esta aplicación se denota $\sigma$. Aquí la llamamos $\tau$ para no confundirla con la segunda forma fundamental.
Anti-isometrías y topología
$\tau$ es lineal y biyectiva (permuta coordenadas), luego es un difeomorfismo con $d\tau=\tau$. En $\R^{n+1}_{n-\nu+1}$ las $n-\nu+1$ primeras coordenadas son negativas; en $\tau(p)$ esas coordenadas son $p_{\nu+1},\ldots,p_{n+1}$, y las $\nu$ últimas (positivas) son $p_1,\ldots,p_\nu$. Así \[\langle\tau v,\tau w\rangle_{n-\nu+1}=-\sum_{j=\nu+1}^{n+1}v^jw^j+\sum_{i=1}^{\nu}v^iw^i=-\langle v,w\rangle_\nu.\] En particular $q_{n-\nu+1}(\tau p)=-q_\nu(p)$, de modo que $q_\nu(p)=r^2$ si y solo si $q_{n-\nu+1}(\tau p)=-r^2$; como $n-\nu+1=(n-\nu)+1$, esto dice que $\tau(\S^n_\nu(r))=\H^n_{n-\nu}(r)$.
Anti-isometrías y topología
Si $\phi:(M,g)\rightarrow(\tilde M,\tilde g)$ es una anti-isometría, entonces $\phi:(M,-g)\rightarrow(\tilde M,\tilde g)$ es una isometría. Como la fórmula de Koszul es lineal en la métrica, $g$ y $-g$ tienen la misma conexión de Levi-Civita y el mismo tensor $R$; por tanto $\phi$ conserva conexiones, geodésicas, transporte paralelo y completitud, pero cambia el signo de las curvaturas seccionales ($K_{-g}=-K_g$) y convierte el índice $\nu$ en $n-\nu$.
Anti-isometrías y topología
La pseudo-esfera $\S^n_\nu(r)$ es difeomorfa a $\R^\nu\times \S^{n-\nu}$ y el espacio pseudo-hiperbólico $\H^n_\nu(r)$ es difeomorfo a $\S^\nu\times \R^{n-\nu}$.
Escribamos $p=(x,y)\in\R^{n+1}_\nu$ con $x\in\R^\nu$, $y\in\R^{n+1-\nu}$ y $|\cdot|$ la norma euclídea. Entonces $p\in\S^n_\nu(r)$ si y solo si $|y|^2=r^2+|x|^2$; en particular $|y|\geq r>0$. Las aplicaciones \[\Phi(x,y)=\Big(x,\ \frac{y}{|y|}\Big)\in\R^\nu\times\S^{n-\nu},\qquad\Psi(x,u)=\Big(x,\ \sqrt{r^2+|x|^2}\,u\Big)\in\S^n_\nu(r),\] son diferenciables (proposición 0.7) e inversas una de otra. Para $\H^n_\nu(r)$ basta usar la anti-isometría $\tau$, que es un difeomorfismo de $\S^n_{n-\nu}(r)\cong\R^{n-\nu}\times\S^\nu$ sobre $\H^n_\nu(r)$.
Anti-isometrías y topología
Las únicas hipercuádricas no conexas son $\S^n_n(r)$ y $\H^n(r)$, pues $\S^0$ está formado por dos puntos, mientras que $\S^k$ con $k\geq 1$ es siempre conexo. Como consecuencia, tanto $\S^n_n(r)$ como $\H^n(r)$ tienen dos componentes conexas. En el caso de $\H^n(r)$, las dos componentes son congruentes bajo la isometría \[(p_1,\ldots,p_{n+1})\rightarrow (-p_1,p_2,\ldots,p_{n+1}),\] de $\R^{n+1}_1$.
La componente de $\H^n(r)$ que contiene a $(r,0,\ldots,0)$ se llama el embebimiento superior, mientras que la componente que contiene a $(-r,0,\ldots,0)$ se llama el embebimiento inferior del espacio hiperbólico $\H^n(r)$ en $\R^{n+1}_1$.
Anti-isometrías y topología
Toda isometría lineal $A\in O(\nu,n+1-\nu)$ de $\R^{n+1}_\nu$ conserva $q$ y, por tanto, se restringe a una isometría de cada hipercuádrica. Se puede probar que el grupo de estas isometrías actúa transitivamente sobre $\S^n_\nu(r)$ (y sobre sus «direcciones» ortonormales): las hipercuádricas son espacios homogéneos e isótropos, lo que explica, de otra forma, que tengan curvatura constante.
12.3
Sección 12.3
$S=-I/r$ y $Z=-(\varepsilon/r)N$.
Las hipercuádricas son totalmente umbilicales
La hipercuádrica $Q=q^{-1}(\varepsilon r^2)\subset \R^{n+1}_\nu$ de signo $\varepsilon$ es totalmente umbilical, con operador forma \[S=-\frac1r\,I\] asociado al normal unitario que apunta hacia el exterior $N=P/r$. Además, su campo curvatura normal es $Z=-(\varepsilon/r)N$.
Las hipercuádricas son totalmente umbilicales
La conexión de $\R^{n+1}_\nu$ es la derivación usual $D$ de las componentes (la métrica tiene coeficientes constantes), y $D_VP=V$ para todo $V$. Por el lema 11.6, \[S(V)=-D_VN=-\frac1rD_VP=-\frac1rV.\] Por el lema 11.9, $Q$ es totalmente umbilical con función curvatura normal $\lambda=-1/r$ y $Z=\varepsilon\lambda N=-(\varepsilon/r)N$.
Las hipercuádricas son totalmente umbilicales
Para la hipercuádrica $Q=q^{-1}(\varepsilon r^2)$ se tiene \[\sigma(V,W)=-\frac{\varepsilon}{r}\langle V,W\rangle N=-\frac{\varepsilon}{r^2}\langle V,W\rangle P,\qquad H=Z=-\frac{\varepsilon}{r^2}P,\qquad\langle H,H\rangle=\frac{\varepsilon}{r^2}.\]
$\sigma(V,W)=\varepsilon\langle SV,W\rangle N=-\frac{\varepsilon}{r}\langle V,W\rangle N$; y $H=Z$ por la proposición 10.2. Finalmente $\langle Z,Z\rangle=\frac{\varepsilon^2}{r^2}\langle N,N\rangle=\frac{\varepsilon}{r^2}$.
Esto generaliza los cálculos del Tema 6 para $\S^n(r)$ ($\varepsilon=1$) y $\H^n(r)$ ($\varepsilon=-1$).
Las hipercuádricas son totalmente umbilicales
Todas las hipercuádricas centrales se comportan como la esfera: $N=P/r$, $S=-I/r$, totalmente umbilicales con $\sigma=-\frac{\varepsilon}{r}\langle\cdot,\cdot\rangle N$. Solo cambia el signo $\varepsilon$, que decide si $\S$ o $\H$.
Resumen
Ejercicios
12.1$^\star$ — Prueba que el cono nulo $\Lambda$ de $\R^{n+1}_\nu$ ($1\leq\nu\leq n$) es una hipersuperficie difeomorfa a $(\R^\nu\setminus\{0\})\times\S^{n-\nu}$ y que $P$ es tangente y normal a $\Lambda$.
12.2$^\star$ — Prueba que $\S^2_1(1)$ es la superficie reglada $\{p+t\ell\}$ generada por las rectas nulas: para cada $p\in\S^2_1(1)$, las dos rectas $p+t\ell$ con $\ell$ nulo y $\langle p,\ell\rangle=0$ están contenidas en $\S^2_1(1)$.
12.3$^\star$ — Sea $Q$ una hipercuádrica y $A\in O(\nu,n+1-\nu)$. Prueba que $A|_Q:Q\rightarrow Q$ es una isometría.
12.4$^\star$ — Sea $\H^2_1(1)\subset\R^3_2$ y escribamos $p=(x,y)$ con $x\in\R^2$, $y\in\R$. Prueba que $(x,y)\mapsto(x/|x|,y)$ es un difeomorfismo de $\H^2_1(1)$ sobre $\S^1\times\R$ y que las curvas $\{y=\text{cte}\}$ son temporales y cerradas.
Geometría de subvariedades · Tema 12
Pseudo-esferas y espacios pseudo-hiperbólicos: hipersuperficies de nivel de $q$.
Una anti-isometría reduce los segundos a los primeros.
Todas son totalmente umbilicales con $S=-I/r$: se comportan como la esfera.
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