Geodésicas de las hipercuádricas

Sean $p=\gamma(0)\in\S^n_\nu(r)$ y $v=\gamma'(0)\in T_p\S^n_\nu(r)=p^\perp$, $v\neq0$, y $c=\langle v,v\rangle$. Definimos $\beta:\R\rightarrow\R^{n+1}_\nu$ en cada uno de los tres casos: \[\beta(t)=\begin{cases}\cosh\big(\frac{\sqrt{-c}}{r}t\big)\,p+\frac{r}{\sqrt{-c}}\sinh\big(\frac{\sqrt{-c}}{r}t\big)\,v, & c\lt 0\ \ (\text{temporal}),\\[4pt] p+t\,v, & c=0\ \ (\text{nula}),\\[4pt] \cos\big(\frac{\sqrt{c}}{r}t\big)\,p+\frac{r}{\sqrt{c}}\sin\big(\frac{\sqrt{c}}{r}t\big)\,v, & c>0\ \ (\text{espacial}).\end{cases}\] $\beta$ está en $\S^n_\nu(r)$. Usando $\langle p,p\rangle=r^2$, $\langle p,v\rangle=0$ y $\langle v,v\rangle=c$: en el caso temporal, $\langle\beta,\beta\rangle=r^2\cosh^2(\cdot)+\frac{r^2}{-c}c\sinh^2(\cdot)=r^2$; en el nulo, $\langle p+tv,p+tv\rangle=r^2+0+0=r^2$; en el espacial, $r^2(\cos^2+\sin^2)=r^2$.

$\beta$ es geodésica. En los tres casos $\beta(0)=p$, $\beta'(0)=v$ y $\ddot\beta=-\frac{c}{r^2}\beta$, proporcional a $\beta=P\circ\beta$, es decir, normal a $\S^n_\nu(r)$. Por la proposición 0.7 y el corolario 8.3, $\beta$ es una geodésica de $\S^n_\nu(r)$.

Conclusión. Por la unicidad de las geodésicas, $\gamma=\beta$ en el dominio de $\gamma$. Como $\beta$ está definida en todo $\R$, $\S^n_\nu(r)$ es completa. Además $\beta$ está en el plano $\Pi=\operatorname{span}\{p,v\}$; si $x=ap+bv$, entonces $q(x)=a^2r^2+b^2c$:

1. $c\lt 0$: $\Pi\cap\S^n_\nu(r)=\{a^2-\frac{|c|}{r^2}b^2=1\}$ es una hipérbola y $\beta$ recorre la rama $a>0$.
2. $c=0$: $\Pi\cap\S^n_\nu(r)=\{a=\pm1\}$, dos rectas paralelas; $\beta$ recorre la recta $a=1$.
3. $c>0$: $\Pi\cap\S^n_\nu(r)=\{a^2+\frac{c}{r^2}b^2=1\}$ es una elipse, recorrida por $\beta$ periódicamente (de periodo $2\pi r/\sqrt c$).

Por el lema 12.4, $\tau:\R^{n+1}_{n-\nu}\rightarrow\R^{n+1}_{\nu+1}$ es una anti-isometría lineal que lleva $\S^n_{n-\nu}(r)$ sobre $\H^n_\nu(r)$. Su restricción es una anti-isometría entre las hipercuádricas (la métrica inducida también cambia de signo), que conserva la conexión de Levi-Civita y, por tanto, las geodésicas (observación 12.5), y cambia el signo de $\langle\gamma',\gamma'\rangle$: lleva geodésicas temporales en espaciales y viceversa, y nulas en nulas. Como $\tau$ es lineal, lleva planos por el origen en planos por el origen, hipérbolas en hipérbolas, elipses en elipses y rectas en rectas. Basta aplicar la proposición 13.1.

(Alternativamente, se repite la demostración anterior con $\varepsilon=-1$ en (13.1): $\ddot\gamma=\frac{c}{r^2}\gamma$, cuyas soluciones son cosh, afín o cos según $c>0$, $c=0$ o $c\lt 0$.)

La completitud es la de las proposiciones 13.1 y 13.3. Para la curvatura, sea $Q=q^{-1}(\varepsilon r^2)$ con $S=-I/r$ (lema 12.9). Por el corolario 11.8 con $\bar K=0$, para todo plano no degenerado $\operatorname{span}\{v,w\}$, \[K(v,w)=\varepsilon\,\frac{\frac{1}{r^2}\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle-\frac{1}{r^2}\langle v,w\rangle^2}{\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle-\langle v,w\rangle^2}=\frac{\varepsilon}{r^2}.\] Para $\S^n_\nu(r)$, $\varepsilon=1$; para $\H^n_\nu(r)$, $\varepsilon=-1$.