Geometría de subvariedades · Tema 14
La ecuación de Gauss describe la componente tangente de $\bar R(V,W)X$; la de Codazzi, su componente normal.
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Hoja de ruta
La ecuación de Gauss (Tema 5) describe la componente tangente de $\bar R(V,W)X$ para $V,W,X$ tangentes. En este tema estudiamos su componente normal.
14.1
Sección 14.1
Derivar campos normales y quedarse con la parte normal.
La conexión normal
La conexión normal de $M\subset \bar M$ es la aplicación $\nabla^\perp:{\mathfrak X}(M)\times {\mathfrak X}(M)^\perp\rightarrow {\mathfrak X}(M)^\perp$ dada por \[\nabla^\perp_VZ= {\rm nor}\, (\bar \nabla_VZ)\, \quad \text{para todos $V\in {\mathfrak X}(M), Z\in {\mathfrak X}(M)^\perp$}.\]
La conexión normal
Así, $\nabla^\perp$ es una conexión métrica en el fibrado normal. La parte tangente de $\bar\nabla_VZ$ está gobernada por la segunda forma fundamental.
La conexión normal
Para $Z\in{\mathfrak X}(M)^\perp$ sea $A_Z$ el campo tensorial de tipo $(1,1)$ en $M$ determinado por $\langle A_Z(V),W\rangle=\langle\sigma(V,W),Z\rangle$ (operador forma en la dirección $Z$). Entonces $A_Z$ es autoadjunto, ${\mathcal F}(M)$-lineal en $Z$, y \[\bar\nabla_VZ=-A_Z(V)+\nabla^\perp_VZ.\]
La autoadjunción y la linealidad son consecuencia de la simetría y la bilinealidad de $\sigma$. Por el ejercicio 4.6, para todo $W$ tangente, $\langle\tan\bar\nabla_VZ,W\rangle=-\langle\sigma(V,W),Z\rangle=-\langle A_ZV,W\rangle$, luego $\tan\bar\nabla_VZ=-A_ZV$.
Para una hipersuperficie con normal unitario $N$: $A_N=S$ (definición 11.5) y $\nabla^\perp N=0$, pues $\bar\nabla_VN=-S(V)$ es tangente (lema 11.6).
La conexión normal
Las fórmulas de Gauss y de Weingarten descomponen $\bar\nabla$ en «bloques»: \[\bar\nabla_VW=\nabla_VW+\sigma(V,W),\qquad\bar\nabla_VZ=-A_ZV+\nabla^\perp_VZ,\] \[\langle A_ZV,W\rangle=\langle\sigma(V,W),Z\rangle.\] Los objetos intrínsecos de la subvariedad son $\nabla$ (en $TM$) y $\nabla^\perp$ (en $TM^\perp$); los términos cruzados son $\sigma$ y $A$.
14.2
Sección 14.2
Derivar la segunda forma fundamental como un tensor.
Derivada covariante de $\sigma$
Sea $\sigma$ el tensor segunda forma fundamental de $M\subset \bar M$. Definimos la derivada de $\sigma$ respecto $V$, $\nabla_V\sigma:{\mathfrak X}(M)\times {\mathfrak X}(M)\rightarrow {\mathfrak X}(M)^\perp$ como \[(\nabla_V\sigma)(X,Y)=\nabla^\perp_V(\sigma(X,Y))-\sigma(\nabla_VX,Y)-\sigma(X,\nabla_VY),\] para todos $V,X,Y\in {\mathfrak X}(M).$
Derivada covariante de $\sigma$
$\nabla_V\sigma$ es simétrico y ${\mathcal F}(M)$-bilineal; además $(\nabla_V\sigma)(X,Y)$ es ${\mathcal F}(M)$-lineal en $V$.
La simetría es evidente a partir de la de $\sigma$. Para $f\in{\mathcal F}(M)$, usando la proposición 14.2(2) y la regla de Leibniz de $\nabla$, \[\begin{aligned}(\nabla_V\sigma)(fX,Y)&=V(f)\sigma(X,Y)+f\nabla^\perp_V\sigma(X,Y)\\&\quad-\sigma\big(V(f)X+f\nabla_VX,Y\big)-f\sigma(X,\nabla_VY)\\&=f\,(\nabla_V\sigma)(X,Y).\end{aligned}\] La linealidad en $V$ se sigue de la de $\nabla^\perp_V$ y $\nabla_V$.
14.3
Sección 14.3
La componente normal de $\bar R$ sobre vectores tangentes.
La ecuación de Codazzi
Sea $M$ una subvariedad semi-riemanniana de $\bar M$. Si $V,W,X\in{\mathfrak X}(M)$, entonces \[{\rm nor}\, (\bar R(V,W)X)=-(\nabla_V\sigma)(W,X)+(\nabla_W\sigma)(V,X).\] Dicha ecuación se conoce como la ecuación de Codazzi.
No es difícil comprobar que $\nabla_V\sigma$ es simétrico y ${\mathcal F}(M)$-bilineal (lema 14.5).
La ecuación de Codazzi
Partimos de la expresión (5.1) del Tema 5: $\bar R(V,W)X=\bar\nabla_{[V,W]}X-\bar\nabla_V\bar\nabla_WX+\bar\nabla_W\bar\nabla_VX$. Por la fórmula de Gauss, $\nor\bar\nabla_{[V,W]}X=\sigma([V,W],X)$. Además, usando las fórmulas de Gauss y de Weingarten, \[\begin{aligned}\bar\nabla_V\bar\nabla_WX&=\bar\nabla_V(\nabla_WX)+\bar\nabla_V\big(\sigma(W,X)\big)\\&=\nabla_V\nabla_WX+\sigma(V,\nabla_WX)-A_{\sigma(W,X)}V+\nabla^\perp_V\sigma(W,X),\end{aligned}\] luego $\nor\bar\nabla_V\bar\nabla_WX=\sigma(V,\nabla_WX)+\nabla^\perp_V\sigma(W,X)$, y análogamente intercambiando $V$ y $W$.
La ecuación de Codazzi
Así, \[\begin{aligned}\nor\bar R(V,W)X={}&\sigma([V,W],X)-\sigma(V,\nabla_WX)-\nabla^\perp_V\sigma(W,X)\\&+\sigma(W,\nabla_VX)+\nabla^\perp_W\sigma(V,X).\end{aligned}\] Por otro lado, por la definición 14.4, \[\begin{aligned}-(\nabla_V\sigma)(W,X)+(\nabla_W\sigma)(V,X)={}&-\nabla^\perp_V\sigma(W,X)+\sigma(\nabla_VW,X)+\sigma(W,\nabla_VX)\\&+\nabla^\perp_W\sigma(V,X)-\sigma(\nabla_WV,X)-\sigma(V,\nabla_WX).\end{aligned}\] Como $\nabla$ no tiene torsión, $\sigma(\nabla_VW,X)-\sigma(\nabla_WV,X)=\sigma([V,W],X)$, y ambas expresiones coinciden.
La ecuación de Codazzi
Con los mismos cálculos se obtiene la componente tangente de $\bar R(V,W)X$ (ecuación de Gauss en forma vectorial) \[\tan\bar R(V,W)X=R(V,W)X-A_{\sigma(V,X)}W+A_{\sigma(W,X)}V,\] y, para $Z,\xi$ normales, la ecuación de Ricci (ejercicio 14.1) \[\langle\bar R(V,W)Z,\xi\rangle=\langle R^\perp(V,W)Z,\xi\rangle+\langle[A_Z,A_\xi]V,W\rangle,\] donde $R^\perp$ es la curvatura de $\nabla^\perp$ (con el convenio de O'Neill). Las ecuaciones de Gauss, Codazzi y Ricci son las condiciones de integrabilidad de la teoría: el teorema fundamental de subvariedades (Bonnet) asegura que, en $\R^n_\nu$ y en los espacios de curvatura constante, un fibrado con $(\nabla,\nabla^\perp,\sigma)$ que las cumpla se realiza, localmente y de forma única salvo isometrías, como una subvariedad; véase Dajczer–Tojeiro.
La ecuación de Codazzi
Sea $\bar M$ una variedad semi-riemanniana con curvatura constante.
La ecuación de Codazzi
\[\begin{aligned}(\nabla_V\sigma)(W,X)&=\varepsilon\Big(V\langle SW,X\rangle-\langle S\nabla_VW,X\rangle-\langle SW,\nabla_VX\rangle\Big)N\\&=\varepsilon\Big(\langle\nabla_V(SW),X\rangle-\langle S\nabla_VW,X\rangle\Big)N=\varepsilon\langle(\nabla_VS)(W),X\rangle N.\end{aligned}\] Por (1), $\langle(\nabla_VS)(W)-(\nabla_WS)(V),X\rangle=0$ para todo $X$ tangente, y la no degeneración de la métrica de $M$ da el resultado. (Aunque $N$ solo esté definido localmente, la conclusión es local e independiente del signo de $N$.)
La ecuación de Codazzi
Para una hipercuádrica, $S=-I/r$ y $\nabla S=0$: la ecuación de Codazzi se cumple trivialmente. Más en general, si $S=\lambda I$ con $\lambda\in{\mathcal F}(M)$, entonces $(\nabla_VS)(W)=\nabla_V(\lambda W)-\lambda\nabla_VW=V(\lambda)W$, y la ecuación de Codazzi en un ambiente de curvatura constante da $V(\lambda)W=W(\lambda)V$. Esta observación es la clave del Tema 15.
La ecuación de Codazzi
Sea $M\subset\R^3$ una superficie parametrizada por $X(u,v)$ con $F=f=0$ (líneas de curvatura). Entonces $S(X_u)=\frac eEX_u$ y $S(X_v)=\frac gGX_v$, y la igualdad $(\nabla_{X_u}S)(X_v)=(\nabla_{X_v}S)(X_u)$ se traduce en las ecuaciones de Mainardi–Codazzi clásicas \[e_v=\frac{E_v}{2}\Big(\frac eE+\frac gG\Big),\qquad g_u=\frac{G_u}{2}\Big(\frac eE+\frac gG\Big)\] (ejercicio 14.3). Para el toro de revolución (ejemplo 5.7), con $u=\theta$, $v=\varphi$, se comprueban directamente.
Resumen
Ejercicios
14.1$^\star$ — (Ecuación de Ricci.) Definiendo $R^\perp(V,W)Z=\nabla^\perp_{[V,W]}Z-\nabla^\perp_V\nabla^\perp_WZ+\nabla^\perp_W\nabla^\perp_VZ$, prueba que para $Z,\xi\in{\mathfrak X}(M)^\perp$, \[\langle\bar R(V,W)Z,\xi\rangle=\langle R^\perp(V,W)Z,\xi\rangle+\langle[A_Z,A_\xi]V,W\rangle.\] Deduce que el fibrado normal de una hipersuperficie es llano y que, si $\bar M$ tiene curvatura constante, $R^\perp=0$ si y solo si todos los $A_Z$ conmutan entre sí.
14.2$^\star$ — Prueba la forma vectorial de la ecuación de Gauss de la observación 14.7.
14.3$^\star$ — Deduce las ecuaciones de Mainardi–Codazzi del ejemplo 14.10 y compruébalas para el toro de revolución.
Ejercicios
14.4$^\star$ — Se dice que $M$ tiene curvatura media paralela si $\nabla^\perp H=0$. Prueba que entonces $\langle H,H\rangle$ es constante (si $M$ es conexa), y que el recíproco es cierto para hipersuperficies.
14.5$^\star$ — Sea $M^n\subset\bar M^{n+1}$ una hipersuperficie de un espacio de curvatura constante. Prueba, contrayendo la ecuación de Codazzi, que $\operatorname{div}S=d(\tr S)$, es decir, $\sum_i\varepsilon_i\langle(\nabla_{E_i}S)(E_i),V\rangle=V(\tr S)$.
Geometría de subvariedades · Tema 14
Gauss da la parte tangente de $\bar R$; Codazzi, la parte normal.
Con la conexión normal y la fórmula de Weingarten, $\bar\nabla$ se descompone en bloques.
En curvatura constante: $(\nabla_VS)W=(\nabla_WS)V$, la clave del último tema.
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