Repaso de geometría riemanniana

Un sistema de coordenadas (o carta) en un espacio topológico $M$ es un homeomorfismo $x=(x^1,\ldots,x^n):U\rightarrow x(U)$ de un abierto $U\subset M$ sobre un abierto de $\R^n$. Dos cartas $x$, $y$ son compatibles si $y\circ x^{-1}$ y $x\circ y^{-1}$ son diferenciables donde están definidas. Una variedad diferenciable de dimensión $n$ es un espacio topológico Hausdorff y de base numerable dotado de un atlas maximal de cartas compatibles que cubren $M$.

Un vector tangente a $M$ en $p$ es una aplicación $\R$-lineal $v:{\mathcal F}(M)\rightarrow\R$ que verifica la regla de Leibniz \[v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).\] Forman un espacio vectorial $T_pM$, el espacio tangente en $p$.

Si $x=(x^1,\ldots,x^n)$ es un sistema de coordenadas en torno a $p$, los vectores $\partial_i|_p=\frac{\partial}{\partial x^i}\big|_p$, dados por $\partial_i|_p(f)=\frac{\partial(f\circ x^{-1})}{\partial u^i}(x(p))$, forman una base de $T_pM$, y \[v=\sum_{i=1}^nv(x^i)\,\partial_i|_p\qquad\text{para todo } v\in T_pM.\] En particular $\dim T_pM=n$.

La diferencial de $\phi:M\rightarrow N$ en $p$ es la aplicación lineal $d\phi_p:T_pM\rightarrow T_{\phi(p)}N$ dada por \[d\phi_p(v)(f)=v(f\circ\phi),\qquad f\in{\mathcal F}(N).\]

1. Regla de la cadena: $d(\psi\circ\phi)_p=d\psi_{\phi(p)}\circ d\phi_p$.
2. En coordenadas $x$ en $M$ e $y$ en $N$: $d\phi_p(\partial_j|_p)=\sum_i\frac{\partial(y^i\circ\phi)}{\partial x^j}(p)\,\partial_i|_{\phi(p)}$; la matriz de $d\phi_p$ es la jacobiana.
3. Teorema de la función inversa: si $d\phi_p$ es un isomorfismo, $\phi$ es un difeomorfismo de un entorno de $p$ sobre un entorno de $\phi(p)$.

Todo $v\in T_pM$ es la velocidad de alguna curva: en coordenadas, $\alpha(t)=x^{-1}(x(p)+t\,(v(x^1),\ldots,v(x^n)))$. Además $d\phi_p(v)=(\phi\circ\alpha)'(0)$ si $\alpha'(0)=v$: la diferencial transporta velocidades.

Un campo de vectores $X$ asigna a cada $p$ un vector $X_p\in T_pM$ de forma diferenciable: $X(f)\in{\mathcal F}(M)$ para toda $f\in{\mathcal F}(M)$. El conjunto ${\mathfrak X}(M)$ es un ${\mathcal F}(M)$-módulo. El corchete de $X,Y\in{\mathfrak X}(M)$ es el campo \[[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f)).\]

1. Es $\R$-bilineal y antisimétrico: $[X,Y]=-[Y,X]$.
2. Identidad de Jacobi: $[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$.
3. $[fX,hY]=fh[X,Y]+f\,X(h)\,Y-h\,Y(f)\,X$.
4. Los campos coordenados conmutan: $[\partial_i,\partial_j]=0$.

Sea $A:{\mathfrak X}(M)\times\cdots\times{\mathfrak X}(M)\rightarrow\mathcal E$ una aplicación ${\mathcal F}(M)$-multilineal con valores en las secciones de un fibrado vectorial (por ejemplo, ${\mathcal F}(M)$, ${\mathfrak X}(M)$ o ${\mathfrak X}(M)^\perp$). Entonces $A(X_1,\ldots,X_k)(p)$ solo depende de $X_1(p),\ldots,X_k(p)$.

Un tensor métrico en $M$ es un campo tensorial $g$ de tipo $(0,2)$, simétrico, no degenerado en cada punto y de índice constante $\nu$. Una variedad semi-riemanniana es un par $(M,g)$. Si $\nu=0$ ($g$ definido positivo) es riemanniana; si $\nu=1$ y $\dim M\geq2$, lorentziana. Escribiremos $\langle v,w\rangle=g(v,w)$.

Una conexión en $M$ es una aplicación $\nabla:{\mathfrak X}(M)\times{\mathfrak X}(M)\rightarrow{\mathfrak X}(M)$, $(X,Y)\mapsto\nabla_XY$, tal que

1. $\nabla_XY$ es ${\mathcal F}(M)$-lineal en $X$;
2. $\nabla_XY$ es $\R$-lineal en $Y$;
3. $\nabla_X(fY)=X(f)\,Y+f\,\nabla_XY$ para toda $f\in{\mathcal F}(M)$.

$\nabla_XY$ es la derivada covariante de $Y$ respecto de $X$. Por (1) y el lema R.7, $(\nabla_XY)(p)$ solo depende de $X_p$: tiene sentido $\nabla_vY$ para $v\in T_pM$.

En una variedad semi-riemanniana existe una única conexión $\nabla$ sin torsión ($\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$) y compatible con la métrica ($X\langle Y,Z\rangle=\langle\nabla_XY,Z\rangle+\langle Y,\nabla_XZ\rangle$). Está caracterizada por la fórmula de Koszul \[\begin{aligned}2\langle\nabla_XY,Z\rangle={}&X\langle Y,Z\rangle+Y\langle Z,X\rangle-Z\langle X,Y\rangle\\&-\langle X,[Y,Z]\rangle+\langle Y,[Z,X]\rangle+\langle Z,[X,Y]\rangle.\end{aligned}\]

Como la fórmula de Koszul es lineal en la métrica, $g$ y $-g$ tienen la misma conexión de Levi-Civita. Las isometrías conservan la conexión: $d\phi(\nabla_XY)=\bar\nabla_{d\phi X}d\phi Y$.

Sea $\alpha:I\rightarrow M$ una curva. Existe una única aplicación $Y\mapsto Y'=\frac{DY}{dt}$ de ${\mathfrak X}(\alpha)$ en sí mismo tal que

1. $(aY_1+bY_2)'=aY_1'+bY_2'$ para $a,b\in\R$;
2. $(hY)'=\frac{dh}{dt}Y+hY'$ para $h\in{\mathcal F}(I)$;
3. $(V\circ\alpha)'(t)=\nabla_{\alpha'(t)}V$ para todo $V\in{\mathfrak X}(M)$.

Además, $\frac{d}{dt}\langle Y,Z\rangle=\langle Y',Z\rangle+\langle Y,Z'\rangle$.

Un campo $Y\in{\mathfrak X}(\alpha)$ es paralelo si $Y'=0$. Dado $v\in T_{\alpha(t_0)}M$ existe un único campo paralelo $Y$ a lo largo de $\alpha$ con $Y(t_0)=v$ (es un sistema lineal de EDO, con solución en todo $I$). La aplicación \[P_{t_0}^{t_1}:T_{\alpha(t_0)}M\rightarrow T_{\alpha(t_1)}M,\qquad v\mapsto Y(t_1),\] es el transporte paralelo a lo largo de $\alpha$.

El transporte paralelo es una isometría lineal: si $Y$, $Z$ son paralelos, $\frac{d}{dt}\langle Y,Z\rangle=\langle Y',Z\rangle+\langle Y,Z'\rangle=0$.

Una geodésica es una curva $\gamma$ con aceleración nula, $\gamma''=0$. En coordenadas, \[\frac{d^2\gamma^k}{dt^2}+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}(\gamma)\frac{d\gamma^i}{dt}\frac{d\gamma^j}{dt}=0,\qquad k=1,\ldots,n.\]

Para cada $v\in T_pM$ existe una única geodésica maximal $\gamma_v$ con $\gamma_v(0)=p$ y $\gamma_v'(0)=v$. Dos geodésicas que coinciden en posición y velocidad en un instante coinciden en su dominio común. Además, $\langle\gamma',\gamma'\rangle$ es constante a lo largo de una geodésica, y su signo define su carácter causal (espacial, temporal o nula).

La aplicación exponencial en $p$ es $\exp_p(v)=\gamma_v(1)$, definida en el abierto de $T_pM$ de los $v$ para los que $\gamma_v$ está definida en $[0,1]$. Como $\gamma_{tv}(s)=\gamma_v(ts)$, se tiene $\exp_p(tv)=\gamma_v(t)$. Se cumple $d(\exp_p)_0=\id$, luego $\exp_p$ es un difeomorfismo de un entorno de $0$ sobre un entorno normal de $p$.

Todo punto de una variedad semi-riemanniana tiene un entorno convexo $\mathcal V$: dos puntos cualesquiera de $\mathcal V$ se unen por un único segmento geodésico contenido en $\mathcal V$ (en particular, $\mathcal V$ es un entorno normal de cada uno de sus puntos).

$M$ es (geodésicamente) completa si toda geodésica maximal está definida en todo $\R$, es decir, si $\exp_p$ está definida en todo $T_pM$ para cada $p$.

Sea $M$ una variedad riemanniana conexa con su distancia $d$. Son equivalentes: (i) $M$ es geodésicamente completa; (ii) $(M,d)$ es un espacio métrico completo; (iii) los cerrados y acotados de $M$ son compactos. En ese caso, dos puntos cualesquiera se unen por una geodésica de longitud $d(p,q)$ (minimizante).

El tensor de curvatura de $(M,g)$ es el campo tensorial de tipo $(1,3)$ \[R(X,Y)Z=\nabla_{[X,Y]}Z-[\nabla_X,\nabla_Y]Z=\nabla_{[X,Y]}Z-\nabla_X\nabla_YZ+\nabla_Y\nabla_XZ.\]

Para $x,y,z,v,w\in T_pM$:

1. $R(x,y)=-R(y,x)$;
2. $\langle R(x,y)v,w\rangle=-\langle R(x,y)w,v\rangle$;
3. $R(x,y)z+R(y,z)x+R(z,x)y=0$ (primera identidad de Bianchi);
4. $\langle R(x,y)v,w\rangle=\langle R(v,w)x,y\rangle$.

Si $\Pi=\operatorname{span}\{v,w\}\subset T_pM$ es un plano no degenerado ($Q(v,w)=\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle-\langle v,w\rangle^2\neq0$, corolario 1.13), su curvatura seccional es \[K(\Pi)=K(v,w)=\frac{\langle R(v,w)v,w\rangle}{Q(v,w)}.\]

Sea $F$ de tipo curvatura en $T_pM$, $\dim\geq2$. Si $\langle F(v,w)v,w\rangle=0$ para todo par $v,w$ con $Q(v,w)\neq0$, entonces $F=0$. En consecuencia, las curvaturas seccionales determinan $R$.

Sea $R_1(x,y)z=\langle z,x\rangle y-\langle z,y\rangle x$. Entonces $R_1$ es de tipo curvatura y $\langle R_1(v,w)v,w\rangle=Q(v,w)$. Por tanto, si todas las curvaturas seccionales de $T_pM$ valen $C$, entonces $R=C\,R_1$ en $p$.

El tensor de Ricci es $\Ric(X,Y)=\sum_m\varepsilon_m\langle R(X,E_m)Y,E_m\rangle$ para una referencia ortonormal $\{E_m\}$, y la curvatura escalar es $\mathrm S=\sum_m\varepsilon_m\Ric(E_m,E_m)$. En un espacio de curvatura constante $C$ y dimensión $n$, $\Ric=(n-1)C\,g$ y $\mathrm S=n(n-1)C$.

El gradiente de $f\in{\mathcal F}(M)$ es el campo $\nabla f$ con $\langle\nabla f,X\rangle=df(X)=X(f)$; en coordenadas, $\nabla f=\sum_{i,j}g^{ij}\,\partial_if\,\partial_j$. El hessiano es el tensor simétrico \[H^f(X,Y)=X(Y(f))-(\nabla_XY)(f)=\langle\nabla_X\nabla f,Y\rangle,\] y el laplaciano es su traza, $\Delta f=\sum_m\varepsilon_m H^f(E_m,E_m)$.