Dos puntos forman una arista cuando su distancia es menor que ε.
Topología aplicada · Curso 2026/27
Laboratorios
Cinco paneles que calculan de verdad, en tu navegador y en vivo: complejos simpliciales, triangulaciones de Delaunay, números de Betti, retículos de persistencia y grafos de Mapper. Mueve un deslizador y la topología cambia con él.
Cinco laboratorios
De una regla local a la forma de los datos.
Los cinco comparten el mismo punto de partida —una nube de puntos y una noción de proximidad— y se separan en lo que hacen con ella. Todo el cálculo ocurre en la página: no hay imágenes precocinadas ni servidor detrás.
01 · EL PLANO
Vietoris–Rips
Aristas, caras y ciclos sobre una nube plana. β₀ y β₁ al ritmo del radio ε.
Abrir ↘ 02 · EL ESPACIOCavidades en R³
La misma construcción con tetraedros: aparece β₂, el hueco que ninguna proyección enseña.
Abrir ↘ 03 · LA GEOMETRÍADelaunay y complejos alpha
Voronoi reparte el plano, Delaunay lo triangula y el radio α recorre los subcomplejos. Pon tú los puntos.
Abrir ↘ 04 · DOS PARÁMETROSPersistencia bi-paramétrica
Radio y codensidad a la vez. La ventana de persistencia deja de ser un intervalo y pasa a ser una región.
Abrir ↘ 05 · EL GRAFOMapper
Lente, cubierta y agrupamiento: la nube se resume en un grafo que conserva su forma.
Abrir ↘Laboratorio interactivo
Haz visible lo invisible.
Construye un complejo de Vietoris–Rips sobre una nube de puntos. Aumenta el radio y observa cómo nacen conexiones, ciclos y estructura topológica.
Una regla local revela la forma global.
Tres puntos forman una cara cuando todos distan entre sí menos que ε.
Laboratorio interactivo · R³
Ahora, con cavidades.
La misma construcción de Vietoris–Rips, pero sobre nubes en el espacio. Al crecer ε aparecen aristas, caras y celdas —los 3-símplices—, y con ellas β₂: los huecos que ninguna proyección plana deja ver.
De la regla local a la cavidad.
Cada par de puntos a distancia menor que ε aporta una arista; cada terna próxima entre sí, una cara.
Cuatro puntos próximos dos a dos cierran una celda, el 3-símplice. Es lo que permite que una cavidad acabe tapándose.
β₂ cuenta cavidades: la esfera tiene una, la bola sólida ninguna. Los rangos salen de las matrices de frontera sobre ℤ/2.
Laboratorio interactivo · Delaunay y alpha
El complejo que sí es la unión de bolas.
El complejo de Delaunay triangula la nube sin inventar nada, y dentro de él los complejos alpha crecen con el radio α. A diferencia de Rips, en cada α tienen exactamente el tipo de homotopía de la unión de bolas. Los puntos los pones tú: un clic añade, un clic encima quita.
Primero se reparte el plano; luego se deja crecer.
Cada punto p se queda con su celda de Voronoi: los puntos del plano que no tienen ningún otro dato más cerca. Las celdas cubren el plano y solo se tocan por sus bordes.
El complejo de Delaunay es el nervio de esa partición: un símplice por cada grupo de celdas con intersección no vacía. Sale una triangulación de la envolvente convexa en la que ningún triángulo tiene datos dentro de su circunferencia circunscrita.
Recorta cada bola B(p, α) con su celda y vuelve a tomar el nervio: el complejo alpha, un subcomplejo de Delaunay. Un símplice entra cuando α alcanza el punto de su celda común más cercano a sus vértices, y de ahí no sale.
Por el teorema del nervio, el complejo alpha es homotópicamente equivalente a la unión de las bolas B(p, α), no una aproximación suya: a igual α da los β correctos con muchísimos menos símplices que Vietoris–Rips, que en el plano llega a rellenar tres puntos lejanos solo porque se tocan por parejas. Su tamaño es O(n) en el plano, frente a los 2ⁿ potenciales de Rips. El precio es la dimensión: Delaunay se calcula en ℝᵈ y explota con d, mientras que Rips solo necesita la matriz de distancias. En la rejilla se ve el caso degenerado: cuatro puntos cocirculares dejan de determinar una triangulación única, y el laboratorio deshace el empate con una perturbación simbólica por debajo de la resolución de la pantalla.
Laboratorio interactivo · dos parámetros
Un parámetro no basta.
Con ruido de fondo ningún radio funciona: cuando ε es bastante grande para cerrar el círculo, los puntos dispersos ya lo han rellenado. Añade un segundo eje —la codensidad— y la ventana deja de ser un intervalo para ser una región del plano.
Dos ejes, un retículo, una recta.
A cada punto se le asigna su codensidad γ(x): la distancia a su k-ésimo vecino más próximo. Grande donde la nube es rala, pequeña donde está apretada. El primer eje conserva solo los puntos con γ(x) ≤ γ.
Cada bigrado (γ, ε) tiene su complejo, y crecer en cualquiera de los dos ejes solo añade símplices. El panel calcula β en toda la malla: donde antes había un intervalo de persistencia ahora hay una región.
Una recta de pendiente no negativa atraviesa el retículo y devuelve una filtración de siempre, con su código de barras. Vertical es el Rips clásico. Inclínala y la barra del ciclo se alarga: eso es lo que el segundo eje añade.
En dos parámetros no hay código de barras: un módulo bi-paramétrico no se descompone en intervalos y ningún invariante discreto completo lo clasifica (Carlsson–Zomorodian, 2009). Lo que sí se calcula es la función de Hilbert —el sombreado del retículo— y el código de barras fibrado, la familia de todos los cortes por rectas. Es la idea de RIVET, aquí en pequeño.
Laboratorio interactivo · Mapper
Tres números deciden lo que verás.
Mapper resume una nube en un grafo: una lente, una cubierta con solapamiento y un radio de agrupamiento. Los tres los eliges tú, y la forma que sale depende de ellos tanto como de los datos. Aquí se ve exactamente dónde se rompe.
De la nube al grafo, en tres pasos.
Una lente f: X → ℝ resume cada punto en un número. Su recorrido se cubre con N intervalos que se solapan: ese solapamiento es lo único que después une unos nodos con otros.
Dentro de la preimagen de cada intervalo se toman las componentes conexas del grafo de distancia menor que δ. Cada una es un nodo, y su tamaño en pantalla, el número de puntos que contiene.
Dos nodos se unen si comparten algún punto. Queda un grafo con β₀ componentes y β₁ = E − V + C ciclos. Cambia N, el solapamiento o δ y esos dos números cambian con ellos.