Campos a lo largo de la subvariedad
Si $M$ es una subvariedad de $\bar M$, un campo $X$ a lo largo de $M$ es un campo a lo largo de la inclusión $\iota:M\rightarrow \bar M$, esto es, una aplicación $X:M\rightarrow T\bar M$ tal que $\pi\circ X=\iota$.
El conjunto de los campos a lo largo de $M$ que son diferenciables se denota por $\bar {\mathfrak X}(M)$.
- Para cada campo $X\in {\mathfrak X}(\bar M)$ se tiene que $X|_M\in \bar{\mathfrak X}(M)$.
- Un campo $Z\in \bar{\mathfrak X}(M)$ se dice normal si $Z_p\in T_pM^\perp,$ $\forall p\in M$.
- El subconjunto de $\bar {\mathfrak X}(M)$ formado por los campos normales a $M$ se denota ${\mathfrak X}(M)^\perp$.
- Se tienen las proyecciones ortogonales globales \[tan:\bar{\mathfrak X}(M)\rightarrow {\mathfrak X}(M) \quad\text{y}\quad nor:\bar{\mathfrak X}(M)\rightarrow {\mathfrak X}(M)^\perp \] tomando dichas proyecciones en cada punto $p\in M$.
- Para $X\in \bar{\mathfrak X}(M)$, se tiene la descomposición $$X=tan\, X+nor\,X.$$
3.1 - Prueba que $X\in \bar {\mathfrak X}(M)$ si y solo si para cada $p\in M,$ $X$ define un vector $X_p\in T_p\bar M$ y para cualquier función $f\in {\mathcal F}(\bar M)$, se tiene que $X(f)\in {\mathcal F}(M)$.
3.2 - Prueba que si $X\in \bar{\mathfrak X}(M)$, entonces $tan\, X\in {\mathfrak X}(M)$ y $nor\,X\in {\mathfrak X}(M)^\perp$, esto es, que los campos a lo largo de $M$ que se obtienen con las proyecciones son diferenciables.