Puntos umbilicales
Definición
Un punto $p$ de $M\subset \bar M$ se dice umbilical si existe un vector normal $z\in T_pM^\perp$ tal que
\[\sigma(v,w)=\g{v}{w} z,\]
para todos $v,w\in T_pM$. En este caso, $z$ se llama el vector curvatura normal de $M$ en $p$.
Definición
Una subvariedad semi-riemanniana $M$ de $\bar M$ se dice totalmente umbilical si todos sus puntos son umbilicales. En tal caso, existe un campo normal $Z\in{\mathfrak X}(M)^{\perp}$ tal que
\[\sigma(V,W)=\g{V}{W}Z,\] para todo par de campos $V, W$ tangentes a $M$, que llamamos campo curvatura normal.
- Las subvariedades totalmente geodésicas son, en particular, totalmente umbilicales con $Z = 0.$
- La esfera $\S^n(r)$ y el espacio hiperbólico $\H^n(r)$ son totalmente umbilicales con $Z=\varepsilon N/r$, siendo $N$ en cada punto el vector normal unitario que apunta hacia el exterior.