Geodésicas en subvariedades
Proposición (4.8 de O'Neill)
Sea $M$ una subvariedad semi-riemanniana de $\bar M$, $\alpha:I\subset \R\rightarrow M$ una curva diferenciable e $Y\in {\mathfrak X}(\alpha)$ un campo tangente a $M$ a lo largo de la curva $\alpha.$
Entonces
\[\dot Y=Y'+\sigma(\alpha',Y),\]
donde $\dot Y=\frac{\bar D Y}{dt}$ e $Y'=\frac{D Y}{dt}$.
Corolario (4.9 de O'Neill)
Si $\alpha$ es una curva en $M\subset \bar M$, entonces
\[\ddot\alpha= \alpha''+\sigma(\alpha',\alpha').\]
Corolario (4.10 de O'Neill)
Una curva $\alpha$ en $M\subset \bar M$ es una geodésica de $M$ si y solo si su aceleración en $\bar M$ es normal a $M$ en todo punto.
Corolario (4.11 de O'Neill)
Las geodésicas no constantes de la esfera $\S^n(r)$ son precisamente todos los círculos máximos de $\S^n(r)$ parametrizados con velocidad constante.