Hipersuperficies totalmente umbilicales
Lema (4.35 de O'Neill)
Sea $M\subset \bar M$ una hipersuperficie semi-riemanniana conexa de signo $\varepsilon$ y dimensión $M$ $\geq 2$. Si $M$ es totalmente umbilical y $\bar M$ tiene curvatura constante $\bar C$, entonces la curvatura normal $k$ es constante (módulo el signo) y $M$ tiene curvatura constante $\bar C+\varepsilon k^2$.
Proposición (4.36 de O'Neill)
Si $M$ es una hipersuperficie semi-riemanniana conexa de $\R^n_\nu$, $n\geq 3$, que es totalmente umbilical pero no totalmente geodésica, entonces $M$ es una abierto en una hipercuádrica. Por tanto, si $M$ es completa, será una componente de una hipercuádrica.
Corolario
Las hipersuperficies completas, conexas y totalmente umbilicales de $\R^n_\nu$, $n\geq 3$,
son exactamente los hiperplanos no degenerados de $\R^n_\nu$ y las componentes conexas de las hipercuádricas.
Lema (4.38 de O'Neill)
Sea $M$ una hipersuperficie semi-riemanniana de $\bar M$. Si $M$ y $\bar M$ tienen curvaturas constantes $C\not=\bar C$ y $\dim M\geq 3$, entonces $M$ es totalmente umbilical.
Proposición (4.37 de O'Neill)
Si $M$ es una hipersuperficie conexa de $\R^n_\nu$ $(n\geq 4)$ con curvatura constante $C\not=0$, entonces $M$ es un abierto de una hipercuádrica. Por tanto, si $M$ es completa, $M$ es una componente de una hipercuádrica.