Geodésicas en Hipercuádricas

Sea $\gamma$ una geodésica no constante de $\S^n_\nu(r)\subset \R^{n+1}_\nu$. Entonces $\gamma$ se obtiene como la intersección de un plano que pasa por el origen con $\S^n_\nu(r)$. Además

1. si $\gamma$ es temporal, entonces $\gamma$ es una rama de una hipérbola en $\R^{n+1}_\nu$.
2. Si $\gamma$ es nula, entonces $\gamma$ es una recta.
3. Si $\gamma$ es espacial, entonces $\gamma$ es una parametrización periódica de una elipse en $\R^{n+1}_\nu$.

En particular, $\S^{n}_\nu(r)$ es completa.

Sea $\gamma$ una geodésica no constante de $\H^n_\nu(r)\subset \R^{n+1}_{\nu+1}$. Entonces $\gamma$ se obtiene como la intersección de un plano que pasa por el origen con $\H^n_\nu(r)$. Además

1. si $\gamma$ es espacial, entonces $\gamma$ es una rama de una hipérbola en $\R^{n+1}_{\nu+1}$.
2. Si $\gamma$ es nula, entonces $\gamma$ es una recta.
3. Si $\gamma$ es temporal, entonces $\gamma$ es una parametrización periódica de una elipse en $\R^{n+1}_{\nu+1}$.

En particular, $\H^{n}_\nu(r)$ es completa.

Sea $n\geq 2$ y $0\leq \nu\leq n$. Entonces

1. La pseudo-esfera $\S^n_\nu(r)$ es una subvariedad semi-riemanniana completa de curvatura constante positiva $K=1/r^2$.
2. El espacio pseudo-hiperbólico $\H^n_\nu(r)$ es una subvariedad semi-riemanniana completa de curvatura constante negativa $K=-1/r^2$.