Ecuación de Gauss
Teorema (4.5 de O'Neill)
Sea $M$ una subvariedad semi-riemanniana de $\bar M$ con $R$ y $\bar R$ sus respectivos tensores de curvatura y $\sigma$ la segunda forma fundamental. Entonces para campos $V,W,X$ e $Y$, todos tangentes a $M$, se tiene que
\[\g{R(V,W)X}{Y}=\g{\bar R(V,W)X}{Y}+ \g{\sigma(V,X)}{\sigma(W,Y)}
-\g{\sigma(V,Y)}{\sigma(W,X)}. \]
-\g{\sigma(V,Y)}{\sigma(W,X)}. \]
Corolario (4.6 de O'Neill)
Si $v$ y $w$ definen un plano no degenerado tangente a $M$, entonces
\[K(v,w)=\bar K(v,w)+\frac{\g{\sigma(v,v)}{\sigma(w,w)}-\g{\sigma(v,w)}{\sigma(v,w)}}{\g{v}{v}\g{w}{w}-\g{v}{w}^2}.\]
Corolario
Si $M$ es una subvariedad semi-riemanniana de $\R^n_{\nu}$, entonces
\[K(v,w)=\frac{\g{\sigma(v,v)}{\sigma(w,w)}-\g{\sigma(v,w)}{\sigma(v,w)}}{\g{v}{v}\g{w}{w}-\g{v}{w}^2}.\]