La conexión inducida
Sea $\bar \nabla$ la conexión de Levi-Civita de $\bar M$. Definamos \[\bar\nabla:{\mathfrak X}(M)\times \bar{\mathfrak X}(M)\rightarrow \bar{\mathfrak X}(M)\] para $V\in {\mathfrak X}(M)$ y $X\in \bar{\mathfrak X}(M)$ por $$\bar\nabla_VX:=\bar \nabla_{\bar V}{\bar X}|_M,$$ donde $\bar V$ y $\bar X$ son campos de $\bar M$, localmente definidos, tales que $\bar V|_M=V$ y $\bar X|_M=X$, respectivamente. La llamaremos la conexión inducida.
Lema (4.1 de O'Neill)
$\bar\nabla_VX$ está bien definido, es decir, no depende de las extensiones $\bar X$ y $\bar V$ escogidas.
Corolario (4.2 de O'Neill)
Sea $\bar \nabla$ la conexión inducida sobre $M$. Si $V,W\in{\mathfrak X}(M)$ y $X,Y\in\bar{\mathfrak X}(M)$, entonces
- $\bar\nabla_VX$ es ${\mathcal F}(M)$-lineal en $V$.
- $\bar\nabla_VX$ es $\R$-lineal en $X$.
- $\bar\nabla_V(fX)=V(f)\, X+f \bar\nabla_VX,$ para toda $f\in {\mathcal F}(M)$.
- $[V,W]=\bar\nabla_VW-\bar\nabla_WV$.
- $V\g{X}{Y} =\g{\bar\nabla_VX}{Y}+\g{X}{\bar\nabla_VY}$.
Lema (4.3 de O'Neill)
Para $M\subset \bar M$, si $V,W\in{\mathfrak X}(M)$, entonces
\[\nabla_VW= tan (\bar\nabla_VW),\]
donde $\nabla$ es la conexión de Levi-Civita de $M$.
Lema (4.4 de O'Neill)
La aplicación $\sigma:{\mathfrak X}(M)\times {\mathfrak X}(M)\rightarrow {\mathfrak X}(M)^\perp$ definida por
\[\sigma(V,W)= nor (\bar \nabla_VW)\]
es ${\mathcal F}(M)$-bilineal y simétrica.
Definición
La aplicación $\sigma$ definida en el lema anterior se conoce como la segunda forma fundamental (o tensor de forma). Sin ser un tensor estrictamente como los que vimos, se comporta de forma similar.
Definición
Teniendo en cuenta lo anterior, obtenemos la siguiente descomposición conocida como fórmula de Gauss: $$\bar\nabla_VW = \nabla_VW + \sigma(V,W).$$
Ejercicios
4.1 - Prueba que todo campo de vectores $V\in {\mathfrak X}(M)$ se extiende localmente a un campo de vectores $\bar V\in {\mathfrak X}(\bar M).$
4.2 - Prueba el Lema 4.3.