Subvariedades
Definición
Sea $M^n$ una variedad contenida en $\bar M^m$. Decimos que un sistema de coordenadas $x:U\subset\bar M\rightarrow
\R^m$ está adaptado a $M$ si $x|_{U\cap M}$ tiene sus $m-n$ últimas coordenadas constantes.
Proposición (1.28 de O'Neill)
Si $M\subset\bar M$ es una subvariedad de una variedad diferenciable $\bar M$ (la diferencial de la inclusión en inyectiva), entonces cada punto $p\in M$ admite un sistema de coordenadas
adaptado a $M$.
Lema (1.33 de O'Neill)
Sea $\phi:M^n\rightarrow \bar M^m$ una aplicación diferenciable y sea $p\in M$. Entonces la diferencial $d\phi_p$ es inyectiva si y solo si
la matriz Jacobiana de $\phi$ en $p$ tiene rango $n$ relativo a una (y por tanto, cualquier) elección de sistemas de coordenadas.
Definición
Sea $\psi:M\rightarrow P$ una aplicación diferenciable. Decimos que $q_0\in \psi(M)$ es un valor regular
de $\psi$ si $d\psi_{q_0}$ es suprayectiva para todo $p\in \psi^{-1}(q_0)$.
Corolario (1.36 de O'Neill)
Si $q_0\in \psi(M)$ es un valor regular de una aplicación diferenciable $\psi:M\rightarrow P$, entonces $N=\psi^{-1}(q_0)$ es una subvariedad de $M$ y $\dim M=\dim P+\dim N.$
Ejercicios
0.1 - Prueba que la esfera $\S^n$ es una subvariedad de $\R^{n+1}.$
0.2 - Estudia si la aplicación identidad sobre $\R^{n+1}$ es un sistema de coordenadas adaptado a la esfera $\S^n$. De no ser así, busca un sistema de coordenadas que sí lo sea.
0.3 - Prueba el Corolario 1.36.