Subespacio ortogonal
Recordemos que si $V$ es un espacio vectorial dotado de un producto escalar (2-forma bilineal, simétrica y no-degenerada) $g$, decimos que dos vectores $u,w\in V$ son ortogonales, denotado por $u\perp w$, si $g(u,w)=0$.
Si $W$ es un subespacio de $V$, entonces definimos el subespacio ortogonal a $W$, denotado por $W^\perp,$ como \[W^\perp=\{ v\in V: v \perp w\,\, \forall w\in W\}.\]
Lema (2.19 de O'Neill)
Una forma bilineal simétrica es no-degenerada si y solo si su matriz relativa a una (y por tanto, a toda) base es invertible.
Lema (2.22 de O'Neill)
Si $W$ es un subespacio de un espacio vectorial $V$ dotado de un producto escalar $g$, entonces
- $\dim W+\dim W^\perp = \dim V$,
- $(W^\perp)^\perp$ = W.
Lema (2.23 de O'Neill)
- Un subespacio $W$ de $V$ es no-degenerado si y solo si $V$ es suma directa de $W$ y $W^\perp$.
- Un subespacio $W$ de $V$ es no-degenerado si solo si $W^\perp$ también lo es.
Lema (2.24, 2.25 y 2.26 de O'Neill)
Un espacio vectorial $V$ dotado de un producto escalar siempre admite una base ortonormal $e_1,\ldots,e_n$. Además, si $\varepsilon_i=g(e_i,e_i)=\pm 1$, $i=1,\ldots,n$, entonces la
cantidad de vectores con $\varepsilon_i$ negativo no depende de la base ortonormal. Y se tiene la siguiente fórmula de descomposición de un vector $v\in V$ respecto a una base ortonormal:
\[v=\sum_{i=1}^n \varepsilon_i g(v,e_i)e_i.\]
Definición
Al número de $\varepsilon_i$ negativos que aparecen en una base ortonormal arbitraria se le llama el índice de $(V,g)$ y a la n-upla $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)$, la signatura de $(V,g)$.