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Hipersuperficies semi-riemannianas

Definición
Una hipersuperficie semi-riemanniana $M$ de $\bar M$ es una subvariedad semi-riemanniana de codimensión 1. Se define el signo $\varepsilon$ de $M$ como
    +1 si el coíndice de $M$ es $0$, esto es, $\g{z}{z}>0$ para todo vector normal $z\not=0$,

    -1 si el coíndice de $M$ es $1$, esto es, $\g{z}{z}<0$ para todo vector normal $z\not=0$.

Si $f:(\bar M,g)\rightarrow \R$ es una función diferenciable, entonces $\nabla f$ es el campo métricamente equivalente a $df$. De esta forma, estará determinado por $df(v)=\g{\nabla f}{v}$, para todo vector tangente $v.$
Proposición (4.17 de O'Neill)
Sea $c\in\R$ un valor de $f\in{\mathcal F}(\bar M)$. Entonces, $M=f^{-1}(c)$ es una hipersuperficie semi-riemanniana de $\bar M$ si y solo si $\g{\nabla f}{\nabla f}$ es positivo o negativo sobre todo $M$ (no cambia de signo). En este caso, el signo de $M$ coincide con el signo de $\g{\nabla f}{\nabla f}$ y $$N=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$$ es un campo vectorial normal unitario globalmente definido.

Observemos que no todas las hipersuperficies semi-riemannianas se pueden obtener de este modo (como hipersuperficies de nivel), pues hay algunas que no admiten un campo normal unitario global, como por ejemplo la banda de Moebius en $\R^3$.

Definición
Sea $N$ un campo normal unitario a una hipersuperficie semi-riemanniana $M\subset \bar M$. El campo tensorial de tipo $(1,1)$ en $M$, denotado por $S$, determinado por \[\g{S(V)}{W}=\g{\sigma(V,W)}{N},\quad \text{para todo $V,W\in{\mathfrak X}(M)$}\] recibe el nombre de operador forma de $M\subset\bar M$.
Debido a sus propiedades tensoriales, $S$ determina un operador lineal $S:T_pM\rightarrow T_pM$ en cada punto $p\in M$.
Lema (4.19 de O'Neill)
Si $S$ es el operador forma asociado a $N$, entonces $$S(V)=-\bar\nabla_VN$$ y el operador lineal $S$ es autoadjunto, es decir, $\g{S(V)}{W}=\g{V}{S(W)}$.

  • Al tensor $II(V,W)=\g{S(V)}{W}$ también se le suele llamar segunda forma fundamental de $M\subset \bar M$ (la primera forma fundamental es simplemente el tensor métrico de $M$).
  • Cuando escogemos $-N$ como normal unitario, el signo de $S$ cambia.
Ejercicio

11.1 - Sea $S$ el operador forma asociado al normal unitario $N=\nabla f/|\nabla f|$ en una hipersuperficie semi-riemanniana de nivel $M=f^{-1}(c)$ de $\bar M$.

  1. Prueba que $\g{S(v)}{w}=-H^f(v,w)/|\nabla f|,$ para todos $v,w$ tangentes a $M$. Aqui $H^f$ es el Hessiano de $f,$ definido por \[H^f(X,Y)=X(Y(f))-\bar\nabla_XY(f)=\g{\bar \nabla_X \nabla f}{Y}.\] para todo par de campos $X,Y\in{\mathfrak X}(\bar M)$ (véase el Lema 3.49 de O'Neill).
  2. Encuentra la expresión de $S$ en $p=(1,0,0)$ para el hiperboloide definido por la ecuación $x^2+y^2=1+z^2$ en $\R^3$, primero usando el apartado 1 y después la fórmula $S(v)=-\bar\nabla_vN$.
Corolario (4.20 de O'Neill)
Sea $S$ el operador forma de una hipersuperficie semi-riemanniana $M\subset \bar M$. Si $v,w$ generan un plano tangente a $M$ no degenerado, entonces \[K(v,w)=\bar K(v,w)+\varepsilon \frac{\g{Sv}{v}\g{Sw}{w}-\g{Sv}{w}^2}{g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^2},\] donde $\varepsilon$ es el signo de $M\subset \bar M$.
Lema (4.21 de O'Neill)
Una hipersuperficie semi-riemanniana $M\subset \bar M$ es totalmente umbilical si y solo si su operador forma es un múltiplo de la identidad en cada punto, es decir, $S=\lambda I$.
Cuando la hipersuperficie semi-riemanniana sea totalmente umbilical, diremos que la función $\lambda$ es la función curvatura normal de $M\subset \bar M$.

Ejercicios

11.2 - Sea $M$ una hipersuperficie espacial de signo $\varepsilon$ en $\bar M$ (riemanniana o lorentziana). Sean $S$ el operador forma asociado a un campo normal unitario $N$ y $k_1,\ldots,k_n$ los valores propios de $S$. Prueba:

  1. $\g{H}{N}=(1/n) \sum_{i=1}^n k_i$ ($H$ es el campo curvatura media de $M$).
  2. $K(\Pi)=\bar K(\Pi)+\varepsilon k_ik_j$, donde $\Pi$ es el plano generado por vectores propios asociados a $k_i$ y $k_j$, respectivamente.
  3. Un punto $p\in M$ es umbilical si y solo si $k_1=\cdots=k_n$ en $p$.

11.3 - Prueba que la curvatura de Ricci de una hipersuperficie $M\subset \R^{n+1}_\nu$ está dada por \[{\rm Ric}\,(V,W)=\varepsilon(\g{S(V)}{W} {\rm tr}(S)-\g{S(V)}{S(W)}).\]

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