La ecuación de Codazzi
Definición
La conexión normal de $M\subset \bar M$ es la aplicación $\nabla^\perp:{\mathfrak X}(M)\times {\mathfrak X}(M)^\perp\rightarrow {\mathfrak X}(M)^\perp$ dada por
\[\nabla^\perp_VZ= {\rm nor}\, (\bar \nabla_VZ)\, \quad \text{para todos $V\in {\mathfrak X}(M), Z\in {\mathfrak X}(M)^\perp$}.
\]
- $\nabla^\perp_VZ$ es ${\mathcal F}(M)$-lineal en $V$ y $\R$-lineal en $Z$.
- $\nabla^\perp_V(fZ)=f \nabla^\perp_VZ+V(f) Z$ para todo $f\in {\mathcal F}(M)$.
- $V\g{Y}{Z}=\g{\nabla^\perp_VY}{Z}+\g{Y}{\nabla^\perp_VZ}$, donde $Y,Z\in {\mathfrak X}(M)^\perp$.
Definición
Sea $\sigma$ el tensor segunda forma fundamental de $M\subset \bar M$. Definimos la derivada de $\sigma$ respecto $V$, $\nabla_V\sigma:{\mathfrak X}(M)\times {\mathfrak X}(M)\rightarrow {\mathfrak X}(M)^\perp$ como
\[(\nabla_V\sigma)(X,Y)=\nabla^\perp_V(\sigma(X,Y))-\sigma(\nabla_VX,Y)-\sigma(X,\nabla_VY),
\]
para todos $V,X,Y\in {\mathfrak X}(M).$
Proposición (4.33 de O'Neill)
Sea $M$ una subvariedad semi-riemanniana de $\bar M$. Si $V,W,X\in{\mathfrak X}(M)$, entonces
\[{\rm nor}\, (\bar R(V,W)X)=-(\nabla_V\sigma)(W,X)+(\nabla_W\sigma)(V,X).\]
Corolario (4.34 de O'Neill)
Sea $\bar M$ una variedad semi-riemanniana con curvatura constante.
- La ecuación de Codazzi para $M\subset \bar M$ se simplifica a \[(\nabla_V\sigma)(W,X)=(\nabla_W\sigma)(V,X),\quad \text{para todos $V,W,X\in{\mathfrak X}(M)$.}\]
- Si $M$ es una hipersuperficie de $\bar M$ con operador forma $S$, entonces \[(\nabla_VS)(W)=(\nabla_WS)(V),\quad \text{para todos $V,W\in{\mathfrak X}(M)$.}\]