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Hipercuádricas

Denotamos por $\R^{n+1}_{\nu}$ a $\R^{n+1}$ con la métrica $$\g{v}{w}_\nu=-\sum_{i=1}^\nu v^iw^i+\sum_{j=\nu+1}^{n+1} v^jw^j,$$ donde $v=(v^1,\ldots,v^{n+1})$ y $w=(w^1,\ldots,w^{n+1})$.

Proposición
El subconjunto de $\R^{n+1}_\nu$ determinado por la ecuación $\g{p}{p}_\nu=\varepsilon r^2$ para cada $r>0$ es una hipersuperficie semi-riemanniana de $\R^{n+1}_\nu$ con normal unitario $N=P/r$ y signo $\varepsilon$.

Definición
Sean $n\geq 2$ y $0\leq \nu\leq n$. Entonces
  1. La pseudo-esfera de radio $r>0$ en $\R^{n+1}_\nu$ es la hipercuádrica \[\S_\nu^n(r)=\{p\in \R^{n+1}_\nu: \g{p}{p}_\nu=r^2\}.\]
  2. El espacio pseudo-hiperbólico de radio $r>0$ en $\R^{n+1}_{\nu+1}$ es la hipercuádrica \[\H_\nu^n(r)=\{p\in \R^{n+1}_{\nu+1}: \g{p}{p}_{\nu+1}=-r^2\}.\]
Observemos que la pseudo-esfera $\S_\nu^n(r)$ tiene signo +1 e índice $\nu$ en $\R^{n+1}_{\nu}$, mientras que el espacio pseudo-hiperbólico $\H_\nu^n(r)$ tiene signo -1 e índice $\nu$ en $\R^{n+1}_{\nu+1}$.

El siguiente lema nos permitirá reducir el estudio de los espacios pseudo-hiperbólicos al de las pseudo-esferas.

Lema (4.24 de O'Neill)
La aplicación $\sigma:\R^{n+1}_\nu\rightarrow \R^{n+1}_{n-\nu+1}$ dada por \[\sigma(p_1,\ldots,p_{n+1})=(p_{\nu+1},\ldots,p_{n+1},p_1,\ldots,p_\nu),\] es una anti-isometría que lleva $\S^n_\nu(r)$ a $\H^n_{n-\nu}(r).$
Lema (4.25 de O'Neill)
La pseudo-esfera $\S^n_\nu(r)$ es difeomorfa a $\R^\nu\times \S^{n-\nu}$ y el espacio pseudo-hiperbólico $\H^n_\nu(r)$ es difeomorfo a $\S^\nu\times \R^{n-\nu}$.
Las únicas hipercuádricas no conexas son $\S^n_n(r)$ y $\H^n(r)$, pues $\S^0$ está formado por dos puntos, mientras que $\S^n$ con $n\geq 1$ es siempre conexo. Como consecuencia, tanto $\S^n_n(r)$ como $\H^n(r)$ tienen dos componentes conexas.

En el caso de $\H^n(r)$, las dos componentes son congruentes bajo la isometría \[(p_1,\ldots,p_{n+1})\rightarrow (-p_1,p_2,\ldots,p_n),\] de $\R^{n+1}_1$.

Definición
La componente de $\H^n(r)$ que contiene a $(r,0,\ldots,0)$ se llama el embebimiento superior, mientras que la componente que contiene a $(-r,0,\ldots,0)$ se llama el embebimiento inferior del espacio hiperbólico $\H^n(r)$ en $\R^{n+1}_1$.
En lo que sigue, denotaremos $q(v)=\g{v}{v}_\nu.$
Lema (4.27 de O'Neill)
La hipercuádrica $Q=q^{-1}(\varepsilon r^2)\subset \R^{n+1}_\nu$ de signo $\varepsilon$ es totalmente umbilical, con operador forma $S=-I/r$ asociado al normal unitario que apunta hacia el exterior $N=P/r$. Además, su campo curvatura normal es $Z=-(\varepsilon/r)N$.

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