Curvatura media
Definición
Dada una subvariedad semi-riemanniana $M$ de $\bar M$, llamamos campo vectorial curvatura media $H$ de $M\subset \bar M$ a la contracción métrica normalizada de su segunda forma fundamental, es decir,
\[H=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varepsilon_i \sigma(E_i,E_i),\]
siendo $E_1,\ldots,E_n$ una referencia local ortonormal y $\varepsilon_i=\g{E_i}{E_i}$, $i=1,\ldots,n$.
Definición
Una subvariedad semi-riemanniana $M$ de $\bar M$ se dice que es minimal si $H=0$, y de curvatura media constante si $\g{H}{H}$ es una función constante.
Ejercicio
7.1 - Sea $x^1, \ldots, x^{n+k}$ un sistema de coordenadas adaptado para $M \subset \bar{M}$. Probar que el campo vectorial curvatura media $H$ es \[ H = \frac{1}{n} \sum_{1 \le i,j \le n} g^{ij} \, \sigma(\partial_i, \partial_j). \] Y si $\partial_{n+1}, \ldots, \partial_{n+k}$ son normales a $M$, entonces \[ \sigma(\partial_i, \partial_j) = \sum_{r>n} \overline{\Gamma}_{ij}^r \, \partial_r. \]