Subvariedades totalmente geodésicas
Definición
Una subvariedad semi-riemanniana $M$ de $\bar M$ se dice totalmente geodésica si su tensor segunda forma fundamental es idénticamente nulo, $\sigma=0$.
Proposición (4.13 de O'Neill)
Para $M\subset \bar M$, las siguientes condiciones son equivalentes:
- $M$ es totalmente geodésica en $\bar M$.
- Cada geodésica de $M$ es también una geodésica de $\bar M$.
- Si $v\in T_p\bar M$ es tangente a $M$, entonces la geodésica $\gamma_v$ de $\bar M$ está inicialmente en $M$.
- Si $\alpha$ es una curva en $M$ y $v\in T_{\alpha(0)}M$, entonces el transporte paralelo de $v$ a lo largo de $\alpha$ es el mismo en $M$ que en $\bar M$.