Subvariedades semi-riemannianas. Métrica inducida
Definición
Sea $(\bar M,\bar g)$ una variedad semi-riemanniana y $M\subset \bar M$ una subvariedad de $\bar M$ (la diferencial de la inclusión es inyectiva). Decimos que $M$ es una subvariedad semi-riemanniana de $\bar M$ si para todo punto $p\in M$, la métrica inducida en $M$, $g_p:T_pM\times T_pM\rightarrow \mathbb{R}$, definida como
\[g(v,w)=\bar g(v,w)\]
para todo $v,w\in T_pM$ es no degenerada.
- Observemos que $g$ define un tensor covariante de grado 2 sobre $M$.
Ejercicio
2.1 - Comprueba que esta definición esencialmente es la que vimos el día anterior cuando la inmersión coincide con la inclusión.
Descomposición ortogonal
Dada una subvariedad semi-riemanniana $M$ de $\bar M$, podemos descomponer el espacio tangente a $\bar M$, en cada punto $p\in M,$ como
\[T_p\bar M=T_pM+T_pM^\perp,\]
donde $T_pM^\perp$ denota el subespacio ortogonal a $T_pM$. La dimensión de $T_pM^\perp$ se dice que es la codimensión de $M$ en $\bar M$.
Asociada a dicha descomposición, tenemos las proyecciones ortogonales
\[tan:T_p\bar M\rightarrow T_pM\quad \text{y} \quad nor:T_p\bar M\rightarrow T_pM^\perp.\]